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15/02/24 18:45
더 엄밀하게 접근해야하는게 bc는 b x c이지만 23은 2 x 3이라고 할 수가 없습니다. 그렇기 때문에 많은 논쟁이 일어나고 있지요. 또 파고들면 2(3)이 올바른 표기이냐 (2)(3) 또는 (2 x 3)으로 바꿔 쓸 수 있느냐 그 때의 계산 우선순위는 어떻게 되는가의 문제이고요.
https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html 가 도움이 될 것 같습니다 요약하자면 convention이 없기 때문에 문재의 소지가 있고 정확한 답은 없다입니다
15/02/24 19:04
이게 숫자이고 아니고의 문제는 아니고, 기호여도 마찬가지입니다.
바로 앞에 나눗셈 기호가 있는 이런 상황에서 숫자(혹은 기호)와 괄호 사이의 곱셈기호를 생략해도 되는지에 대한 약속이 없기 때문에, 명확하지 않은 문제=답을 특정할 수 없는 문제가 되어버린 거죠.
15/02/24 19:08
생략하는 경우와 아닌경우에 대해 수학적으로 약속된게 있다는 얘깁니다. 문제 자체에는 분명 생략되어 있고 따라서 저 답이 될 수 밖에 없다는 이야기지요.
15/02/24 19:44
예 문제에서는 분명 곱셈기호가 생략되어 있습니다. 그런데 수학적으로는 저런 상황에서 곱셈기호를 생략했을 때 어떤 순서로 계산할 것인지 (생략된 곱셈기호를 우선할 것인지 아니면 앞에 있는 나눗셈기호를 우선할 것인지) 약속이 안되어 있으니, 풀 수 없는 문제라는 거죠. '생략해도 되는지 아닌지 약속된 바가 없다'라는 건 그런 뜻입니다. '문제에서 곱셈이 생략되어 있으니 어쨌든 주어진 조건 내에서 풀 수 있지 않겠냐' 라는 방식으로 접근할 상황은 아닙니다.
15/02/24 20:01
교과과정에서는 곱셈기호의 생략을 항과항을 묶어 단항식화 즉 하나의 문자화 시킨다고 명시합니다. 연산순서에서 벗어나 제 1순위로 계산, 하나의 문자화 되는거지요. 오히려 가장 강하게 약속된 개념으로 봅니다.
15/02/24 19:09
문자와 문자 사이 혹은 숫자와 문자 에서 생략된 곱셈은 곱하기나 나누기 기호보다 우선순위가 높다는 합의가 있지만,
문자와 괄호, 혹은 숫자와 괄호 사이에 생략된 곱셈에 대한 우선순위는 합의된 사항이 없다고 보는게 맞는거 같습니다. 이그니마님은 문자와 문자사이의 경우처럼 괄호와 숫자사이의 생략된 곱셈도 우선순위가 높다고 주장하시는데, 딱히 그렇지는 않은것 같습니다. 수학자들 사이에서도 의견이 분분하다더군요.
15/02/24 19:14
그것도 아이러니인데, 교과서에는 그렇게 실려있는데 평가원에서는 우선순위가 없다고 대답했답니다....?
https://mirror.enha.kr/wiki/48%C3%B72%289+3%29#fn8
15/02/24 18:58
이거 저번에 제법 타올랐던 그 문제 아니던가요?
표기오류인거 같은데... 딱히 고민해볼 정도는 아닌거 같아요. 아...괄호가 있으니 곱셈기호 생략이 가능하네요. 그러면 생략을 했다는 것만으로도 우선권을 가지게 되겠네요.
15/02/24 19:23
교과서의 경우 제한된 조건(교과 과정등)에서만 해당하는 경우 아닌가요?
유게의 저 문제는 아무런 전제 조건이 없습니다. 저 문제가 어느 과정에 대한건지도 없구요...
15/02/24 19:28
수학기호가 어느 과정에 국한되어서 한정적으로 정의되진 않지요. 초등과정도 중학과정도 수학의 한 부분입니다. 곱셈기호 생략 개념은 네이버에만 찾아봐도 상당히 열띤 토론이 있다는걸 알 수 있었습니다.
사실 교사입장에서의 이 문제는 너무 정의가 명확해서 다른 답이 나오는게 이상합니다만. 그 교과과정중의 정의가 아직 논란의 여지가 있다는 말씀들이 많군요.
15/02/24 19:42
아니요 ;; 교과과정은 아무 논란의 여지가 없는데 ab = a×b 이지, ab = (a×b)가 아니라는 얘기입니다. 괄호는 연산의 우선 순위를 정하는 거지 정의가 아닙니다 ;;
15/02/24 19:31
당연히 문제가 되죠 ;; 수학은 약속이다 그런 이야기는 중고등학교 수학 수준에서 수학적 정의에 대한 이해를 돕기 위해 하는 말이고요.
괄호의 의미를 통째로 하나의 문자로 봤다가 연산자로 봤다가 마음대로 생각하셔서 혼란을 겪으시는 것 같네요.
15/02/24 19:43
근데 이그니마님 마음대로 생각했다고 표현하기엔 교과서에 너무 떡하니 명시되어있습니다.
괄호를 문자로 취급한다고 실려있어요. http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=87128&page=1
15/02/24 19:45
중학생들의 이해를 돕기 위해서 문자처럼 취급해서 한 덩어리로 계산하라고 이야기해서 분배법칙을 자연스럽게 받아들이라고 하는 얘깁니다 ;;
15/02/24 19:56
이게 분배법칙을 가르치기 위한거라고요?
그게 더 납득하기 힘든데요. [괄호가 있는 식도 문자처럼 취급해. 따라서, 괄호가 있는 식에 곱해진 수는 괄호 앞에 쓰고 곱셈 기호는 생략하면 돼.] 그리고 페이지 자체가 표기법에 대한 내용입니다. 분배법칙이랑 아무상관 없어요.
15/02/24 19:46
괄호의 의미를 멋대로 해석한적 없습니다.
곱셈기호의 생략여부를 설명할때 현장에서 하는 이야기를 했을 뿐입니다. 본문중 문항이 주는 의미를 설명했을 뿐이지요 뭔가 오해가 있으신 모양이네요
15/02/24 20:08
그게 답이 2번이라고 해서 그렇게 유추하는 게 잘못됐다니까요 ;;
3 = (3) 이게 쓸 이유가 없어서 안 쓰는 게 아니라 님이 말하신대로 표현하면 이런 약속은 수학에서 한 적이 없어요 ;; 마찬가지 이유로 ab=(a×b)라는 식도 없어요 ;; c÷ab=c÷(a×b)인 거죠 ;;
15/02/24 19:58
위 제시된 1-3문항이 학생들에게 주고자 하는 바는
곱셈기호의 생략으로 연산된 기호를 단항식화할수 있다는 사실입니다. 여러수식의 의미를 괄호로 묶고 나면 그 괄호 전체가 하나의 단항식 역할을 하게 되지요. 이건 정의라기 보다는 성질의 활용에 가깝습니다. 따라서 곱셈기호의 생략을 곱셈과 괄호를 통해 표현하는데는 아무런 문제가 없다는게 교과과정 내용입니다.
15/02/24 20:04
문제는, 2(1+3)은 2*(1+3)이기는 하지만 {2*(1+3)}은 아니라는 거죠. 교과과정에 어떻게 쓰여 있는지 몰라도, 중학생의 이해를 돕기 위해 쓰여 있는 서술을 가지고 보편화시킬 수는 없습니다.
당장에 중학교 교과서에 쓰여 있는 수학적 서술이 상급과정으로 갔을 때 틀린 서술이 되는 경우가 꽤 있다는 건 잘 아시지 않을까 싶습니다.
15/02/24 20:08
위 1-3문항 처럼 2(1+3) 은 2*(1+3) 으로 해석되지 않을 수도 있습니다. 다른 수식과의 상관관계에 따라서요. 오히려 중괄호를 포함한 수식과는 amount가 동일합니다. 어떤경우에서든요.
15/02/24 20:46
'어떤 경우에서든요'라고 하는 건 글쎄요... '중학교 과정에서' 그렇다고 하시면 동의해드릴 수 있는데, 보편타당하게 그렇다고 하시려면 딱히 근거가 없네요. 중학 교과서는 중학 과정까지만 근거로 사용하실 수 있습니다. 잘 알려진 예로, 삼각형 내각의 합이 180도인 건, '유클리드 기하학'이라는 범위 안에서 진행되는 중학교 과정에서는 당연한 말이지만, 유클리드 기하학 범위를 벗어나면 꼭 그렇지가 않죠.
수학 뿐만이 아니죠. 물리 교과서도 중고등학교때까지는 갈릴레이 변환을 기본전제로 깔고 서술되어 있지만 대학 1학년만 가도 갈릴레이 변환을 대체하는 로렌츠 변환을 배우게 됩니다.
15/02/24 21:03
뭐 중학과정 얘기를 할뿐 제가 그네들만 보는건 아니에요;; 고등과정아이들도 이과 재수생까지 다루고있어요 대학도 수학과정 이수했습니다. 그래서 오히려 교사직에 종사하면서 기초적인 수식의 엄밀성이 더 신경쓰이더군요. 보통 그럴때 기초에서 찾아보게 되는 습성도 있구요.
15/02/24 21:06
그러니까 더 상위의 보편적인 내용에도 근거하고 계시다면 그 근거자료를 보여주시면 됩니다.
엔하위키 항목에도 링크되어 있는 모 수학교육과 교수님의 네이버캐스트 글을 다시금 인용합니다. 맨 마지막 부분에 혼동의 가능성이 있으니 괄호를 사용해야 한다고 나와 있습니다. http://m.navercast.naver.com/mobile_contents.nhn?rid=22&contents_id=929
15/02/24 21:11
무슨 대단하고 고차원적인 상위수학을 얘기하자는 게 아니고 '사칙연산에 관한 보편적 약속인지 아닌지'를 논의하는 상황입니다. 해당 링크도 어디까지나 기본적인 사칙연산의 규칙에 대한 설명글입니다.
15/02/24 20:06
a÷bc = a/bc
a÷(b×c) = a/bc 라서 bc = (b×c) 라는 이야기인데 수학적으로 증명을 해보세요 ;; a÷bc = a÷(b×c) 니까 양변에 a를 나누면 a÷bc÷a = a÷(b×c)÷a a÷a÷bc = a÷a÷(b×c) 1÷bc=1÷(b×c) 이 다음에 어떻게 하실건데여 ;;
15/02/24 20:21
말도 안 되는 소리를 증명하라는 저도 문제지만 ;;
수학적으로 증명을 하려면 끝까지 계산해서 bc = (b×c) 라는 식을 뽑아내야 됩니다 ;; 근데 괄호를 연산하면 무조건 풀리니까 증명과정이 성립이 안된다는 얘깁니다 ;;
15/02/24 20:12
양변에 bc×(b×c) 곱해주면 끝나네요
그리고 그 전에 3번째줄에서 4번째 줄로 갈때 틀렸어요. 그 과정을 바로 갈거면 그냥 차라리 첫째줄에서 bc×(b×c)÷a를 양변에 곱하는게 더 낫죠.
15/02/24 20:17
애초에 정의에 따라서 답이바뀌는데 어떤 정의를 따를 것이냐가 문제고
통일된 수학적 약속이 없는 이상 답이 없는 문제 아닌가 싶네요.
15/02/24 20:20
글쓴분 의견에 동의하는 건 아닌데
글쓴분 주장에 의하면 6/2(1+2)는 6/{2*(1+2)} 라서 6/{(1+2)*2} 가 되는 거라서 말씀하신 대로는 안될 것 같네요.
15/02/24 20:27
만약에, 수학계에 '괄호와 숫자사이에 생략된 곱셈은 일반적인 곱셈나눗셈보다 우선순위를 가진다' 라는 합의가 있으면 별로 문제 없습니다.
무조건 다 다르게 나온다는게 무슨말씀인지 전혀 모르겠네요. 지금 문제는 그거랑 전혀 상관 없어요. 저런 합의가 있느냐 없느냐의 문제이지.
15/02/24 20:27
아니요... 예를 잘못 드신건지 모르겠지만.. 다르게 안나옵니다;;
글쓴분은 곱하기의 생략을 하나의 항으로 묶어서 먼저 계산하는게 맞다고 하신거고 b,c가 자리를 바꾸어도 계산이 다르게 나오지 않습니다. 항으로 묶인 게 bc니까요. 그런데 예를 드신 것에서는 a를 c와 묶으셨네요. 이러면 다른 계산이 됩니다. 애초에 이 문제는 생략된 *이 일반 곱,나눔 보다 먼저 계산한다는 규칙이 있느냐 없느냐 숫자와 괄호 사이에 곱을 생략할 수 있느냐 하는 것이지 각 규정에 따라 먼저하든, 앞에서부터 하든 계산상의 논리에 구멍은 없습니다.
15/02/24 20:43
괄호는 계산을 먼저하라는 의미입니다 ;;
a÷bc=a÷(b×c)는 괄호가 무조건 곱하기가 생략됐다는 말이면 a÷×bc가 되는 건가요? ;; 그러니까 a÷bc=a÷(b×c)에서 괄호의 의미는 bc를 무조건 먼저 곱하라는 뜻인거죠 ;; 6÷2(1+2)에서도 괄호부터 계산을 먼저하라는 뜻입니다. 그러니까 6÷2(3)이 되는 거죠. a÷b(c+d)를 일반적으로 어떻게 계산할 거냐의 문제인데 괄호 앞에 곱하기가 생략되어 있으니까 a÷b×(c+d)라고 계산하는 거지 곱하기가 생략되어 있다는 게 갑자기 괄호를 쳐버리라는 뜻이 아닙니다 ;; a÷b(c)=a÷b×c 라고 해야지 맞는 겁니다. a÷b(c)=a÷bc=a÷b÷c 이런 식으로 하면 안되죠 ;; 피지알 게시판에서 한 논쟁 중에서 가장 함정에 빠진 기분이네요.
15/02/24 20:47
[괄호가 무조건 곱하기가 생략됐다는 말] 에서 심각한 오해가 있었음을 알 수 있네요....
괄호는 먼저 계산하라는게 아니라, 전체 계산 우선순위보다 괄호안의 수식이 상위에 있다는 의미입니다. 이게 같은 문장같지만, 사실은 아니죠.
15/02/24 20:50
c + d = e 일 때
올바른 계산법 a ÷ b(c+d) = a ÷ b × (c+d) = a ÷ b × e 글쓴이 계산법 a ÷ b(c+d) = a ÷ { b × (c+d) }= a ÷ (b × e) = a ÷ b ÷ e 아... 뭔가 해결한 기분이다.
15/02/24 20:52
근데, 수학계에는 삼공파일님이 올바르다는 합의도, 글쓴이님의 방식이 올바르다는 합의도 없다고 합니다.
아, 그리고 중학 교과서에는 정말로 글쓴이님의 방식이 맞는것처럼 서술되어 있습니다.
15/02/24 21:30
어.. 댓글 잘못달았네요;; 죄송합니다. 삼공파일님께 달 댓글인데.....
처음부터 두 수식이 다르고 그래서 계산결과가 다르게 나온건데 뭔가 해결하신 것처럼 말씀하셔서 크;;;;
15/02/24 20:57
[a÷b(c+d)를 일반적으로 어떻게 계산할 거냐의 문제인데 괄호 앞에 곱하기가 생략되어 있으니까 a÷b×(c+d)라고 계산하는 거지]
바로 여기서 차이를 알 수 있네요 c+d=p 로 치환하고 나면 앞의 수식은 a/bp가 되고 뒤의 수식은 ap/b 가 된다고 교과과정에서 명시하고 있다는 말입니다. 이 오류를 피하기 위해 bc를 양이 완전히 동일한 (b*c)형태로 바꿔주면 문제가 생기지 않습니다. 실제 현장의 교과과정이에요. 중학교 과정으로 치부해버리기에는 상당히 엄밀하게 다루고 있다는게 팩트고 저도 거기에 근거를 두고 얘기하는겁니다. 심공파일님의 말씀대로라면 현 수학과정이 몽땅 틀린얘기가 되어버리는데 뭐가 말도 안되는 얘기인지 함부로 말씀하십니다.
15/02/24 21:08
단계적 교과과정식 교육이란 게 원래 그렇죠.
위에도 썼지만, 물리교과서도 중고등학교 때까지는당연한 듯이 갈릴레이 변환에 기초해서, 그걸 원칙으로 기술되어 있지만, 대학 가면 달라집니다.
15/02/24 21:08
그러니까 그 명시라는 게 이니그마님이 명시되어 있는 수식 몇 개로 유추된 게 당연하다고 생각하는 겁니다 ;;
ab = (a×b) 이렇게 쓰여 있는 게 명시입니다 ;; 중학교 교과서가 아니라 초등학교 고등학교 대학교 교과서 다 가지고 와서 ab = (a×b) 이렇게 쓰여있는 수식 하나만 찾아보세요 ;; 있는지 없는지 ;;
15/02/24 20:59
마지막으로 하나만 더 쓰면
올바른 계산법 a ÷ b(c) = a ÷ b × c 글쓴이 계산법 a ÷ b(c) = a ÷ {b×(c)} = a ÷ b ÷ c 위에서 나왔던 제가 했던 개소리 포함 다른 이상한 얘기까지 대충 다 해결된 듯여?
15/02/24 21:07
-_- ;; 비꼰건데요 ;; 저런 간단한 식조차 헷갈리게 연산 법칙을 세워 놨을리가 없지 않았습니까? 당연히 전자가 맞습니다. 잘 안 쓰는 게 아니라 괄호 앞에 곱하기가 생략됐다는 건 저렇게 괄호가 나와야 성립되는 얘깁니다 ;; 괄호가 나온다는 얘기는 괄호 안의 연산이 완료된다는 얘기고요 ;;
15/02/24 21:08
[Russell, Whitehead 의 Principles of Mathematics에도 답이 2라는 주장을 뒷받침하는 규정이 제시되어 있다고 주장한다. 여기서는 "병치로 표시된 곱셈은 나눗셈 이전에 수행한다. 그러므로, 일반적으로, 임의의 a, b, c에 대하여 a/bc=a/(bc)가 될 것이다. (단, b와 c는 0이 아니다)" 라고 설명한다.]
[multiplication indicated by juxtap-osition is carried out before division. Thus, in general, for any variables a, b and c, we would have a/bc = a/(bc) (assuming, of course, that b and c are nonzero] 후자가 맞다고 주장하는 사람도 있습니다. 어휴.
15/02/24 21:11
수학의 원리에 나온 건
a ÷ bc = a ÷ (bc) 고요 ;; 제가 쓴 건 a ÷ b(c) 입니다 ;; 제가 쓴 거에는 c에만 괄호가 있었어요 ;;
15/02/24 21:18
["병치로 표시된 곱셈은 나눗셈 이전에 수행한다."]
라는 문장 자체가 b(c)를 포함한다고 해석할 수도 있습니다. 그리고 http://gall.dcinside.com/board/view/?id=mathematics&no=89732&page=2 의 경우도 있습니다.
15/02/24 21:21
그리고 http://m.navercast.naver.com/mobile_contents.nhn?rid=22&contents_id=929 를 덧붙입니다.
서로 쓰고 싶은대로 쓰고있고, 혼돈주기 싫으면 그냥 저런 표기 안하는게 답입니다.
15/02/24 21:47
-_-;; 말이 대수학이지 우리나라 중학교 수준 밖에 안되는 책이고 디씨 본문에 써 있는 식은 써있지도 않습니다. 클릭해서 보고 오세요.
7 − (x +1)(x + 7) = 7 − [(x +1)(x + 7)] 이렇게 계산해야 안 헷갈린다고 요령 써놓은 겁니다. 짜증나네요.
15/02/24 21:38
-_- 수학자들에 따라 juxtaposition을 먼저 계산해야한다고 주장하는 사람도 꽤 있다니까요.
그런 사람 가져와보라고 해서 가져왔습니다만
15/02/24 21:57
수학의 원리에 쓰인 원문이 [multiplication indicated by juxtap-osition is carried out before division.] 입니다.
juxtaposition의 우선순위가 위에있다는 표현이죠.
15/02/24 22:11
뉴욕 시립대 대수학 교재로 링크 건 게 잘못된 링크라는 왜 무시하는지 모르겠네여 ;;
적스타포지션이라는 건 그냥 같이 붙여서서 썼다는 표현이고 붙여서 썼으면 먼저 계산하라는 뜻이고 먼저 계산하라는 뜻을 수학적으로 나타낸 게 괄호를 붙인 거에여;; 그러니까 먼저 계산하라는 뜻이 괄호를 붙인다는 건데 왜 님 맘대로 c에다가만 괄호를 붙여요?
15/02/24 21:07
'올바른' 이라뇨
적어도 수학기초를 가르쳐보신적은 없다고 예측되네요. 아래 계산법이 맞다고 교과과정에 명시되어 있고 님이 싸우시는건 대상이 제가 아니라 교과과정입니다. 이해가십니까?
15/02/24 21:22
애초에 전세계 수학자들이 모여서 맞춤법 규칙 정하듯 정한 적이 없다고 합니다.
그냥 한 수학자가 논문에서 이러이러한 걸 이렇게 표현하기로 한다. 이렇게 한걸 보고 다른 사람이 인용해서 쓰고쓰고 하다보면 보편적으로 쓰이는 것이 많다고 하네요. 그래서 본문처럼 헷갈리기 쉬운 문제일 경우 논문에서 이럴 경우 이렇게 계산한다고 논문 내에서 정의하고 가는거죠. 즉, 뭐가 올바른 건지는 해당 출제자의 사전정의에 따라 바뀝니다. 예시로든 전항이든 후항이든 출제자가 후항을 의도하면서 전항처럼 계산했다거나 출제했다면 오류지만 전항을 의도하고 전항처럼 표기하든, 후항처럼 의도하고 후항처럼 표기하든 내적 논리에 구멍은 없습니다. 만약 국내의 학교에서 출제되는 시험문제라면 교과과정의 정의에 따르는게 일단은 맞다고 할 수 있죠. 글쓴 분이 학원선생님이시라니 교과과정에 따라 해석하는 건 어찌보면 당연해보이구요. 다만 저는 교과과정에 나온다고 해서 100% 정답이라고 볼 수 없다는 생각입니다.
15/02/24 21:20
규칙에 따라 계산해야 하니 규칙을 먼저 확인하는게 순서인거 같습니다.
본문의 문제와 관련된 규칙을 확인해보면 다음과 같은 규칙이 기억납니다. 곱셈과 나눗셈은 앞에서부터 계산한다. 괄호로 묶인 항을 먼저 계산한다. 생략된 곱셈기호가 있는 항은 생략되지 않은 항보다 먼저 계산한다. 곱셈기호의 생략은 상수와변수사이,변수와변수사이에 있을 경우 가능하며 상수와상수사이의 곱셈기호는 생략하지 않는다. 본문의 문제는 괄호 안의 수식이 상수항으로 이루어져 있는데 상수항만으로 이루어진 괄호를 상수로 생각할 것인가,변수로 생각할것인가의 문제인데 이 부분은 규칙으로 확립된 부분이 아니기에 논란이 되고 있다고 생각됩니다. 상수로 생각한다면 수식 자체가 잘못된 수식이 되는것이고 변수로 생각한다면 규칙에 맞춰 계산하면 될것입니다, 따라서 상수항만으로 이루어진 괄호항를 상수로 생각할 것인가,변수로 생각할것인가를 논의해야할 부분이라고 생각합니다.
15/02/24 21:26
제가 수학을 대학교 이후에 손에서 떼기는 했으나, 적어도 고등 교과과정 이상의 문제는 아니라고 보고 감히 과감하게 말하자면,
이게 1이 아니라고 생각하시는 분들은 수학에서 말하는 증명이라는 것을 어떻게 풀고 있는지 궁금하네요. 아무리 봐도 당연히 1이고, 그렇게 생각하고 수학을 풀어왔을 때 아무런 문제가 없었습니다. 23 이거는 누가봐도 23인지 2*3 인지 알 수가 없으니까 오해의 소지가 있겠지만, 6÷2(1+2) 이 문장은 오해가 있을 부분이 별로 없습니다. (1+2) 를 임의의 a 라는 변수로 치환을 하면, 6 ÷ 2a 라는 말이 됩니다. 6 ÷ 2a 라면 당연히 2a를 먼저 계산하고요. 차라리 식이 잘못되었다는 주장은 받아들이겠습니다. 그런데 9로 계산하는 사람은 수학에서 말하는 증명이란 것을 제대로 하지 못했을 것 같은데 말이죠.
15/02/24 21:30
이 문제에서 (1+2)를 그냥 a로 치환해버리는 게 수학적 엄밀성이 없습니다.
제가 위에 링크한 수학교육과 교수님 글의 맨 아래부분을 참고해보셔요
15/02/24 21:34
복잡한 수식에서 괄호로 묶인 부분을 따로 변수로 묶어서 복잡한 증명에 활용하는 방법은
중학교 고등학교 과정동안 수없이 해왔는데 말이죠. 저는 문제가 오류다라는 주장은 받아들일 수 있는데, 9라는 답은 도저히 인정할 수 없네요.
15/02/24 21:38
오류라는 주장도 무작정 받아들일수는 없지요. 아직 결론이 안났다면서요.
다만 제가 하고 싶은말은 9라는 의견은 도무지 받아들일 수 없다 입니다.
15/02/24 21:39
결론이 안 났다는 건, 표기에 대한 합의가 없다는 말입니다. 즉 제대로 정의되지 않은 문제라는 뜻으로, 우리는 이런 문제를 '오류'라고 부릅니다.
15/02/24 21:42
결론이 안났다는 말은, 오류라는 주장또한 의견중 하나일 뿐이죠.
저는 1로 계산하자고 하면 다른 어떤 수식에서 사용해도 애매모호하지 않다고 봅니다. 하지만 9로 계산하자고 약속을 한다면, 괄호가 들어가는 모든 부분에서 애매해 지는 경우가 많을 겁니다.
15/02/24 21:48
결론이 안 났다는 건, '어떻게 계산하기로 결론이 안 났다=약속되어 있지 않다" 라는 말입니다. 그 말을 '결론이 났는지(약속이 되어 있는지) 결론이 안 났다'라는 식으로 해석하고 계신데, 그렇지 않습니다.
15/02/24 21:36
치환이 왜 오류인지 모르겠네요.
괄호로 묶인 부분을 치환해서 계산에 활용하는 것은 전혀 문제될 것이 없다고 봅니다. 왜냐면 괄호는 모든 수식에서 가장 우선 계산되어져야 하고 그렇기 때문에 계산되어 나온 결과라는 의미의 변수로 치환하는 부분에서 오류가 없다고 생각합니다.
15/02/24 21:38
그렇게 보시는 건 알겠는데, 그건 그런 식의 변환이 괜찮다고 약속되어 있는 경우의 얘기죠. 이 문제는 아예 상황 자체가 약속이 안 되어 있으니까요.
15/02/24 21:40
1+2를 가장 우선 계산해서 3으로 만들라는 뜻이고 괄호 앞에 곱셈이 생략되어 있으니까 (1+2)는 X3이라는 뜻이지, 괄호 앞에 생략된 곱셈을 먼저 하라는 게 아닙니다 ;;
a / bc = a / (b X c)는 b와 c를 먼저 곱하고 앞에 생략된 X는 1을 곱해서 생각하라는 뜻이지 바로 앞에 bc랑 붙은 숫자까지 먼저 계산하라는 얘기가 아니에요
15/02/24 21:43
곱셉을 생략했다는건 먼저 계산해라라는 말로 봐도 무리가 없습니다.
a/ bc 에서 bc를 먼저 계산하는것이 맞습니까? 아닙니까? 다시 말해서, a/b*c 와 a/bc 가 같다고 보십니까?
15/02/24 21:50
-_- ;;
그러니까요. a / b * c = a / b (c) 라니까요. 왜 자꾸 a / b / c = a / b (c) 로 바꾸죠 ;; 그럼 지금 1 / c = 1 (c) 라고 주장하는 건데요 ;;
15/02/24 21:52
두개가 안 같으면,
위 식은 a/bc 니까 1로 계산해도 되는건데요. 갑자기 곱하기 자리에 왜 나누기가 나타나는지도 모르겠네요. 님 설명을 보고 도대체 누가 이해를 합니까? ;;;
15/02/24 22:26
왜 오류라고 하면 2(1+3) 을 2a로 바꾸는 순간 그건 (2a) 라는 다른 의미를 부여하기 때문입니다.
숫자+문자는 최우선 공식이거든요. 하지만 2(1+3) 을 2*(1+3)으로 할지 (2*(1+3))으로 할지 아무런 정의가 없어요. 그러니까 마음대로 a로 치환하고 2a로 묶어버리면 안되는거죠
15/02/24 21:27
음 저의 재수생활을 캐리하셨던 분들 중 한 명인 박승동 선생님 같은 경우엔 문제가 뜻하는 바가 명확하지 않으므로 대답할 가치가 없는 질문이라는 언급을 하신 적이 있습니다. 이 분 제가 살면서 겪어온 사람 중 가장 열성적인 수학덕후이자 교과서 덕후였는데..
15/02/24 21:54
곱셈기호의 생략은 괄호의 의미를 포함합니다
이거 맞는말인건가요? 생략은 그냥 곱셈만 생략으로 알고있는데 그리고 곱셈 나눗셈은 앞에서부터 차례대로 한다는것도 첨듣네요. 동시에 해야하는거 아닌가요? 좀 놀라고 갑니다.
15/02/24 22:04
왜 6이랑 맨 뒤의 3을 먼저 곱하는지 님 말씀하시는건 더 이해가 안되네요..
차라리 6/2 를 먼저 하고 3*3 을 한다는게 9의 주장일텐데...
15/02/24 21:58
수알못인 제가 보기엔 1인 것 같지만, 정의가 내려지있지 않는 개념을 사용하기 때문에 일단은 대답할 수 없는 질문인 것 같네요.
그런데 x=1 이라고 설정한다면 6÷2(x+2)의 값은 별다른 논의없이 1이라고 말할 수 있는건가요?
15/02/24 22:00
이런 경우는 표준이 어떻게 되있느냐 문제죠. 따라서 짜장면과 자장면을 논의하는 것처럼 두뇌풀가동에 크게 의미 둘 필요가 없다고 생각합니다.
15/02/24 22:01
논쟁이 사그라들면 좋겠는데... 위에 링크했지만 다시 한 번 링크해드립니다. (문제는 이전에 유행했던 48/2(9+3) 입니다.)
https://math.berkeley.edu/~gbergman/misc/numbers/ord_ops.html 두괄식 글이라서 바로 결론이 나오는데, ----- Depending on whether one interprets the expression as (48/2)(9+3) or as 48/(2(9+3)) one gets 288 or 2. There is no standard convention as to which of these two ways the expression should be interpreted, so, in fact, 48/2(9+3) is ambiguous. To render it unambiguous, one should write it either as (48/2)(9+3) or 48/(2(9+3)). This applies, in general, to any expression of the form a/bc : one needs to insert parentheses to show whether one means (a/b)c or a/(bc). 주어진 식을 (48/2)(9+3) 또는 48/(2(9+3))로 해석하냐에 따라서 결과는 288과 2로 달라진다. 아직까지 이 식을 해석하는데에 통용되는 약속이 정해지지 않았다. 따라서 이 식은 모호한 식이다. 이 식을 명확하게 만들기 위해서는 주어진 식을 (48/2)(9+3) 또는 48/(2(9+3))로 다시 적어야 한다. 이 규칙은 모든 a/bc 형태의 식에 해당한다: 괄호를 적당히 삽입하여 식을 (a/b)c 또는 a/(bc)의 형태로 만들어야 한다. - George Mark Bergman (UC 버클리, 2009 년 은퇴) 솔직히 수학을 깊게 한 건 아니라 어떤 분인지는 잘 모르겠군요
15/02/24 22:08
저도 이렇게 봅니다.
전자나 후자를 지지하는 분들 모두 상대의 오류를 찾으려고 하시는 분이 있는데 두 방식 모두 계산과정의 내적 오류는 없어요. 규칙을 어떻게 정의하느냐 문제인지... 그리고 이에 널리 인정되는 표준이 없기에 문제에서 정의하기 나름이라고 생각합니다.
15/02/24 22:34
덕분에 긴 글 다 읽었는데 ;; 여기서 convention이라고 하는 건 수학적 약속이 아니라 인터넷에서 화제가 됐는데 합의가 안 났다는 뜻입니다. 그러니까 두 가지 해석 방법이 있는데 뭘로 해석할 지 인터넷에서 합의가 안 났는데 이 식 자체가 ambiguous 애매하기 때문이라는 문장입니다. 수학자끼리의 합의가 아니라.
연산 우선 법칙 같은 거 학교에서 가르치기 전에 왼쪽에서 오른쪽부터 가르쳤으면 좋겠다는 게 이 글의 주요 취지입니다.
15/02/24 22:37
아닙니다 그냥 convention이 아니라 standards. 표준을 언급하고 있습니다.
standard convention이 정해지지 않았다는 말은 수학자들 사이에서도 의견이 분분하다는 말입니다. http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Manual_of_Style/Mathematics#Mathematical_conventions http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_operations 에서 standards라는 표현에 대해서 찾아보실 수 있습니다.
15/02/25 03:39
그런데, 아까는 설마 싶어서 그냥 넘어갔던 부분인데, 아무리 봐도 문자들간의 juxtaposition 조차 우선순위가 ambiguous 하다고 하는거 같네요.
여러 영문 페이지를 찾아봐도 juxtaposition 자체는 그냥 곱셈 기호의 생략 정도로 언급하고 있지, 문자나 괄호같은건 전혀 언급하고 있지 않아요. 설마, 문자와 문자사이의 juxtaposition 도 우선순위가 모호하다는건가요? 이쯤 되면 한국수학자협회나 한국수학교육협회의 입장이 궁금해질 따름이네요.
15/02/24 22:07
a ÷ b (c)
위의 식이 a ÷ b × c 도 될 수 있고 a ÷ b ÷ c 도 될 수 있다고 우기는 분들은 지금 b (c) 가 b × c 도 될 수 있고 b ÷ c 도 될 수 있다고 우기는 거에여 bc로 붙여쓰면 앞에 다른 연산자가 붙었을 때 b × c 가 가장 우선한다는 건 맞아요 근데 어차피 곱셈은 덧셈 뺄셈 보다는 먼저하니까 나눗셈일 때만 의미가 있는 얘기가 되겠죠? 그래서 a ÷ bc = a ÷ (b × c) 가 되는 거구요 그런데 님들 말처럼 해버리면 a ÷ b × (c × d) = acd / b 가 아니라 괄호 앞에 곱하기를 생략해 버렸다고 대괄호를 맘대로 치면 a ÷ b × (c × d) = a ÷ b(c × d) = a ÷ { b × (c × d) } =a / bcd 이렇게 되버려요 아시겠어여???????
15/02/24 22:09
아니요. 둘 다 되는게 아니라 정의하기 따라서 다르다는 겁니다.
전자를 의도하고 전자처럼 정의내리고 전자처럼 쓰든 후자를 의도하고 후자처럼 정의내리고 후자처럼 쓰든 두 수식은 다른거고 두 수식 모두 내적 논리는 무결합니다. 전자처럼 정의하고 후자처럼 계산하는 게 안되는거죠.
15/02/24 22:10
후자로 약속하고 후자로만 사용하면, 아무 문제 없습니다.
정말로 아무문제 없습니다. 그런 합의만 있다면 지금 쓰신 수식이 문제 있는 수식이 아닙니다. 왜 본인께서 이해를 못하시는지는 글쎄요, 짐작도 안갑니다만은, 중요한건 합의만 있다면 후자도 아무 문제 없습니다.
15/02/24 22:27
[ multiplication indicated by juxtaposition is carried out before division]
이라는 명제하에서는 a ÷ b × (c × d) 를 a ÷ b ( c × d) 로 생략하는게 틀린겁니다.
15/02/24 22:33
답답하네요. 이래저래 모호성도 분명한 곱셈식을 본인만 옳다고 주장하고 있는건 아나요?
지금 주장하는거 잠시 접고 정보수집을 추천드립니다.
15/02/24 22:08
이게 수학적으로 합의가 되어 있는 것인지 (이를테면 수학자협회에서)
아니면 논의만 있었던 것인지 조차 모르는 상황에서 1이 맞네 9가 맞네 하는 것은 어불성설입니다 이 합의 표기법이라는 것은 나라마다 다를 수도 있고요. 답이 없네요
15/02/24 22:16
참고로 미국 수학자 협회에서는 2001년까지 "We linearize simple formulas, using the rule that multiplication indicated by juxtaposition is carried out before division." 라고 명시했었다가, 지금은 삭제했다고 합니다.
15/02/24 22:18
슈퍼컴퓨터가 나오고 화성으로 탐사선을 보내는 현재까지 아직 이 부분에 명확한 합의가 이루어지지 않았다는 게 놀랍습니다.
이런 합의가 이루어지지 않았으면 계산기마다 다른 알고리즘을 적용해서 서로 다른 답이 나올 수 있는 치명적 결함이 발생할 수도 있을 텐데요.
15/02/24 22:19
a ÷ b × c × d = a c d / b
에요 근데 곱셈이랑 나눗셈은 뭘 먼저해도 상관 없어요 그렇죠? 그래서 a ÷ b × c × d = a ÷ b × (c × d) 라고 썼어요 그런데 괄호 앞에 있는 곱셈은 생략할 수가 있어여, 이것도 인정하죠? 그래서 제가 괄호 앞에 있는 곱셈을 생략했어요 a ÷ b × c × d = a ÷ b × (c × d) = a ÷ b ( c × d) 이렇게 썼어요 그래서 저는 이 식을 일관되게 a ÷ b ( c × d) = a c d / b 라고 하고 싶네요 그런데 여러분들은 괄호 앞에 있는 곱셈은 우선해야 한다고 뭐 이상한 법칙을 갑자기 주장해서 a ÷ b ( c × d) = a ÷ b ( c × d) = a ÷ { b × ( c × d) } = a / b c d 이러시네요 c × d 대신에 c + d를 넣어도 똑같아요 이게 수학자들 사이끼리 아직도 합의가 안 된 일인가요? 나눗셈이 있는 경우에 괄호 앞의 곱셈을 생략해버리면 우선순위가 헷갈리니까 그러지 말라고 권고하는 거지 사칙 연산이랑 괄호의 계산 순서는 정해진 거에요 표현을 주의해 주시기 바랍니다
15/02/24 22:26
제가 위에 링크한 글을 보시고 합의가 안됐다는 사실이 어줍잖은 수학 아마추어들이 주장하는 게 아니라는 걸 알아주시면 좋겠습니다.
님들이나 아시겠어여 같은 채팅용어는 삼가부탁드리고요.
15/02/24 22:39
읽어봤습니다.
애초에 뒷부분 논리를 말하고자 했으면 전자처럼 정리를 안하죠. 두 수식이 다른 문법으로 쓰여졌는데 자꾸 후자의 문법을 전자에 갖다대니 오류가 발생하는겁니다.
15/02/24 22:41
두 수식이 다른 문법으로 쓰여졌다는데 무슨 수식과 무슨 수식이 어떻게 다르다는 건가요
수식 1 수식 2 정확하게 무슨 식인지 쓰셔서 어떻게 다른지 얘기해주세요
15/02/24 22:54
사실 쓴다고 해도 이해하실 것 같지 않네요.
위에서 저 말고도 다른 분들이 몇번은 쓴 것 같은데요. 마지막으로 정리합니다. 일단 제 입장을 먼저 명확히 하죠. 저는 두 수식다 정의하기에 따라 맞고, 그 정의가 보편적으로 내려져있지 않은게 문제라고 했습니다. 이해하시죠? 1. 순서대로 계산한다. 2. 생략된 *을 먼저 계산한다. 여기서 1번을 주장하시는거죠? 예로든 수식을 보죠. a ÷ b × c × d = a ÷ b × (c × d) = a ÷ b ( c × d) 이게 본인이 주장하는 수식이고요 2. 를 주장하시는 분은 a ÷ {b × (c × d)} = a ÷ b ( c × d) 가 같은 수식이라고 하는 겁니다. 애초에 두 수식이 다르죠? 말씀하신 '괄호앞에 있는 곱셈을 생략가능'이 아니라 생략한 곱셈은 같은 항으로 묶어 다른 곱셈보다 먼저 계산한다 라고 정의한다면요. 애초에 정의가 다른 수식을 같은 문자로 쓴다고 합쳐버리니 오류가 터지고 오류가 터졌으니 거봐 내말이 맞잖아 이렇게 하시는거죠... 오류가 날 수 밖에 없는데요. 어디까지나 어떻게 정의하느냐의 문제입니다. 그리고 아마도 실수시겠지만 "근데 곱셈이랑 나눗셈은 뭘 먼저해도 상관 없어요" 라고 하신 말도 틀린 말입니다. 나눗셈이 앞에 있는데 곱셈을 먼저하면 분모에 곱하게 될 수도 있습니다.
15/02/24 22:36
모호하다고 석학들이 한 얘기가 아니라 석학들이 인터넷에서 모호한 이야기를 내가 한 번 정리해보겠다고 쓴 글이에요.
저렇게 쉽게 썼는데도 이해가 안 되세요?
15/02/24 22:41
님 주장은 한마디로
곱셈이 생략된건 괄호랑 붙으면 의미없고 그냥 앞에있는 수식부터 하나씩 처리해야한다 맞죠? 제 이야기는 괄호를 하나의 단항식 취급을 해서 곱셈 기호가 생략된 경우 그를 아울러 단항식으로 계산해야 한다에요. 정말 많은 얘기가 오가는 가운데 이 둘이 어느게 옳은지 정의되지 않았다는 결론은 확인했지요. 그런데 님은 그게 아닌가봐요. 이렇게 쉽게 설명드려도 이해가 안되세요?
15/02/24 22:47
얘기했잖아요 c x d = p 정도로 치환하고 보면 본문 1번과 2번이 되잖아요.
교과과정에서 분명 다르다고 명시가 되어있다니까요. 앞에서도 한 얘긴데 안보시나요?
15/02/25 02:18
숫자로 6 ÷ 3 × (2 × 1) 랑 6 ÷ 3 (2 × 1) 다르다는 건가요... 는 생각을 좀 해봐야 겠지만...
문자(변수)로 썼을때 님이 말씀하신 두식은 명백히 다르죠... acd/b 와 a/bcd 겠죠... 그리고 달라야 합니다. 저게 같아지면... 중고등학교 수학문제 답이 하나가 안나옵니다.
15/02/24 22:22
그러니까 나눗셈이랑 곱셈이랑 같이 있는데 왜 곱셈부터 해여 ;;
괄호 안에 있는 것만 먼저 하는 거고 괄호 앞에 있다고 먼저 하는 게 아니에여 ;;
15/02/24 22:29
이야기가 돌고 도네요.
현장에서 유용한 관습이나 상식같은걸 팩트로 취급하는 합리성의 오류같은게 있긴 합니다. 다만 교육에 유용한 것이 왜 유용한지는 생각해볼 문제입니다. 이미 사칙연산등의 기본적 사항에서 멀찍이 벗어난 수학자들보다 현장에서 치열히 갈고 닦으며 고민을 거듭한 이들의 결정체인 교과과정이 무슨 애송이들의 그것마냥 여겨지지 않았으면 좋겠습니다. 곱셈기호 생략을 어떤 연산보다 우선시하여 단항식화 시키고 이는 괄호를 포함한 수식과 동일시가 가능하다라고 보는게 현재 교과과정의 골자입니다. 반박이야 얼마든지 가능한 얘기고 재미나게 보고 있습니다만. 이래저래 모호성이 드러난 사항마저 자신이 옳아서 남들을 내려다보는게 가능하다는 자세를 견지하는건 굉장히 불쾌합니다.
15/02/24 23:01
생각해보니까 교과과정중에는 나누기를 괄호사이에 곱셈이 생략되어 항과 함께 두는 있는 수식을 본적이 없는것 같습니다.
그럴 경우엔 차라리 다 분수로 표기를 했던거 같네요. 그러니까 그냥 생략된 곱셈을 우선순위로 둔다고 말을 하는게 더 편할 수도 있을것 같네요. 그리하면 문자와 숫자사에 생략된 곱셈의 우선순위를 설명하기가 편하니까... 그리고 특정한 방향으로 고정해두고 사용하는게 손으로 계산할때 편하니까...
15/02/24 22:30
제 생각에도 직관적으로 6÷2(1+2) 같은 식에서 2(1+2)는 곱셈을 처리하고 말고를 따지기 이전에 단항으로서 이미 연산되어 6이라는 값으로 처리되는게 맞다고 생각해요. 미지수 변수와 곱셈연산자 생략으로 묶인 항을 처리할때도 볼 수 있는 방식이구요.
15/02/24 22:33
익숙한 분수꼴인 a/b 등도 마찬가지로 (a÷b) 라는 연산에서 나눗셈 기호를 생략하면서 단항화시킨거랑 비슷한 이치라고 생각되네요.
15/02/24 22:33
삼공파일님... 저는 수학의 시옷도 모르는 사람이라서 삼공파일님을 비롯한 여러분들이 참가하신 토론에서 누가 옳은 입장에 서 있는지는 잘 모르겠지만, 태도를 조금만 정리해주시면 좋겠네요. 유게 정도에서는 상호 간에 여염체 쓰는 것도 하나의 재미겠지만, 나름대로 진지한 내용의 논쟁 중에 ;; 나 여염체를 지속적으로 쓰시는 건 성실한 태도가 아닌 것으로 생각되네요. 속으로 그렇게 생각하는 건 개개인의 자유지만, 위에서 내려다보는 태도를 지나치게 드러내시는 건 좋지 않을 것 같아요.
15/02/24 22:36
수학은 약속의 학문이죠
이런 기호는 이렇게 하도록하자 가 선결되어야하는데 문제가 되면 논란의 여지를 없애는 합의가 있어야하는데 다짜고짜 답을 구하려고하니 해석의 여지가 발생하죠 정확하지 않은 문장은 뜻을 명확히 하려하듯 정확하지 않은 수식은 뜻을 정확하하면 됩니다 고로 문제 낸 사람에게 2뒤를 묶어서 나눌지 2를 나눈뒤 곱할지를 물어보면 됩니다 무슨 수능도 아니고
15/02/24 22:48
이거.. 데자뷰가... 질문게시판이었던가, 예전에도 비슷한 논쟁에서 수학 전공자분들이 비전공자의 막무가내식 떼쓰기 논리를 어떻게든 이해시키려고 노력했던 모습이 뇌리를 스치는데...
15/02/24 23:01
자기주장 펼칠때 제발 남의 말좀 들으면서 하면 좋겠네요.
삼공님이 뭘 말씀하시는지는 애저녁에 파악하고 있는데 왜 내가 뭘 말하는지는 관심도 안가졌는지 희한하네요.
15/02/24 23:05
자기주장 펼치는건 알겠는데
답답하다고 '여...' 로 의도적으로 끝내는건 상당히 꼴불견이네요 평소에 그런식의 어투 쓰시던분고 아닌것같은데 노골적으로 상대가 한심하고 이런 쓸데없는 이야기를 반복하게 하냐는 짜증을 '여...' 로 끝내고 있어서 읽는 3자까지 짜증스럽게 만드는군요
15/02/25 03:09
수학자들조차 갈피를 못잡는 문제를 이거다 저거다 하고 단언하는데부터 이글의 오류가 있다고 봐야죠.
곱셈이 생략되어있는 뒷 부분의 수식을 '먼저' 계산하고 나머지는 사칙연산에 따라 계산하면 됩니다. 어느때에는 분모로 계산하고 어느때에는 분자로 계산하는것부터 말이 안되요.. 곱셈기호의 생략이 편의성에 의해서인지 괄호에 대한 포함의 개념인지는 제가 수학자가 아니라서 모르겠지만 생략한 부분이 있으면 그 부분을 먼저 해결을 하고 나머지 계산을 하는게 저는 맞다고 생각합니다
15/02/25 06:45
이건 뭐 미필들끼리 모여서 군대에 대해서 온갖 아는척하면서 내가맞다 니가맞다 하는 격.
전공자들이 본다면 얼마나 우습게 보일지. 흥미 본위로 의견 개진하는건 괜찮지만, 열올리고 서로 감정상하고 그런건 자제하심이 어떨까요. 어차피 소꿉놀이 수준에 불과한데.
15/02/25 13:43
수알못인 제 시각에서는
모호하게 수식을 쓴 사람 잘못 제가 수학자라면 기호의 생략은 먼저 계산한다(붙은건 한덩어리로 본다) 라고 학회에 합의하자고 했을 듯 합니다
15/02/25 14:07
"아버지가방에들어가신다" 가 무슨 뜻일까요? 라고 묻는 질문과 똑같다고 봅니다.
애시당초 문법에 맞지 않는 내용을 적어놓고 1개의 답을 내 놓으라는 것은 아닌거죠.
15/02/25 14:49
질문오류에 저도 한표.
2(1+2) 라는 수식 자체가 잘못된 것 같습니다. 문자가 없는 수식을 하나의 항으로 볼 것인가 아닌가에 대해서 서로 다른 해석을 할 수 있으니까요.
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