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11/02/24 22:13
그쵸..
그냥 고등학교 수1 맨 뒤에 나오는 조건부 확률만 알아도 두세줄이면 풀릴 거였죠. 답은 당연히 10/49 이구요. 왜 그렇게 수백개의 댓글이 달리면서 썰을 풀어놓는 논쟁이 반복되나 의아했었습니다..
11/02/24 22:14
위 풀이의 정답 여부를 떠나서, 글을 이런 말투로 쓰시면 답이 10/49가 아니라고 했던 수많은 분들이 뭐가 되나요?
유게도 아니고 자게인데, 어투부터 좀 순화해서 올리시면 좋겟네요.
11/02/24 22:22
문제 자체를 다르게 보고 있는 사람한테 자꾸 이해를 못하느니 그런 소릴 할게 아니네요.
문제에서 원하는 답 : P(A|B) 정하면 당연히 10/49가 답이죠. 정리를 깔끔하게 하셨지만 굳이 저런걸 쓸필요조차 없이 왠만하면 다들 알고 있죠. 1. 애초에 한장을 빼 놓은 다음에, 연속 3장을 펼쳤는데 다이아몬드였고 이때 처음에 뽑은 카드가 다이아몬드일 확률 2. 52장 중에서 연속 3장을 뺐고 모두 다이아몬드였다. 이후에 1장의 카드를 뺐는데 다이아몬드일 확률 정답이 1/4 이라는 사람은 1과 2가 다른 문제라는 것이고 10/49라는 사람은 1과2가 같다는(처음에 뽑은 카드를 확인하지 않았기 때문에 뽑지 않은것과 같다)라고 보는 것이죠. 저는 물론 두개는 다르다고 봅니다.
11/02/24 22:23
전 애초에 이 확률문제에 관한 논쟁에 참여도 안했고, 답도 10/49라고 생각하는쪽이지만..
이글은 전혀의미가 없네요. 1/4 이라고 하시는 분들이 10/49를 못구해서 1/4이라고 하는거 아닙니다 -_-; 지금 이 논쟁의 중점은 P(A)를 구해야 하는것이냐? P(A|B)를 구해야 하는것이냐? 이거지요. 정작 왜 이렇게 논쟁이 과열되어있는지 이해를 못하신건 본인이 아니신지...
11/02/24 22:27
저는 1/4 와 10/49 둘다 이해하겠습니다.
풀이법도 위 방법대로 다 알겠구요 근데 뭐가 맞는지 설명을 못하겠어요. 그거에 대한 답을 써주세요...그게 종결이죠
11/02/24 22:28
잠시 갈팡질팡 했던 사람으로서 댓글을 달자면 이 본문으로 속시원히 해결될 수 있는 게 아닌 듯합니다. 고등학생 수준 확률 문제인 건
맞는데 그 문제를 1/4가 답인 문제로 보느냐 10/49가 답인 문제로 보느냐에 따라 틀리게 생각하는 문제거든요. (이건 다르게가 아니죠.) 정답은 10/49가 맞는데 이런 확률 문제는 그냥 머리로만 생각해보면 완전한 지식 없이는 쉽게 이해가 되지 않아 생기는 문제인 듯합니다.
11/02/24 22:29
사건 a가 사건 b에 독립이면, 독립사건에 대한 정의에 따라 사건 b도 사건 a에 대해 독립입니다.
두 사건에 대하여 P(A n B) = P(A)*P(B) 이 성립하지 않으면 모두 종속입니다.
11/02/24 22:42
음; 문제자체를 잘 이해를 못하신 분이 많이 계시네요... "A와 B중 A가 먼저 일어났기 때문에 B가 어찌돼든 A의 확률은 변하지 않는거 아니냐?" 라고 이해를 하시는 듯 한데... 사건의 선후가 중요한게 아니라 A와 B가 서로 종속된 관계란걸 이해를 하셔야 됩니다. 예를 들어 보죠. 50세 한국남성의 사망원인중 폐암이 10%라고 합시다. 어떤 50세 남자 죽었을때 그 남자의 사망원인이 폐암일 확률은 10%겠죠. 그런데 시체를 부검해 보니 남자의 폐가 검게 타들어가 있었습니다. 그럼 이때 다시 이 남자의 사망원인이 폐암일 확률을 구해보면? 당연히 10%보다 훨씬 크겠죠.
11/02/24 22:45
복잡한 수학기호는 모르겠고..
결국 "이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?"는 질문을 어떻게 해석하느냐의 문제입니다. 1번을 찍어서 맞을 확률 = 1/4 1번을 찍은게 맞을 확률 = 1/3 (4번이 답이 아니라는걸 확인한 상태에서) 상자 안에 다이아몬드 카드가 들어갈 확률 = 1/4 상자 안에 다이아몬드 카드가 들어있을 확률 = 10/49 (상자 밖의 다이아 3개를 확인한 상태에서) 이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?" 가 둘중에 뭘 물어보는것인가에 대한 정의가 없으면 계속 쳇바퀴죠. 질문이 둘중에 뭘 물어보는걸까요? 찍어서 맞을 확률입니까? 찍은게 맞을 확률입니까? 들어갈 확률입니까? 들어있을 확률입니까? 여기에 대한 합의만 되면 답은 이미 나와있으니까요.
11/02/24 22:47
마바라 님 말씀이 맞습니다. 개인적으로 유게 에 있는 원본 기준으로는 10/49가 맞다고 생각되네요. 유게 글에서 답이 1/4라고 한 것은 번역상으로 문제의 뉘앙스가 바꼇다고 생각합니다 [m]
11/02/24 22:53
10/49라고 주장하시는 분들은 이미 실생활(포커)의 예라든지 혹은 정석실력에 나온 유사문제까지 꺼내면서 증명을 하죠.
1/4라고 주장하시는 분들도 실생활의 예라던지 아니면 유사문제의 다른 해석을 꺼내보시면서 주장하셨음 하는데 전혀 그러질 못하고 있습니다. (몬티홀 문제를 꺼내시는데 몬티홀과 이 경우는 다른 문제입니다.)
11/02/24 23:01
이 경우 후에 뽑은 세장의 카드가 물리적으로 과거를 바꿀만한 힘을 가지고있다기보단 그것을 추론하는데 영향을 끼친다고 생각하면 편할듯 합니다.
또한 p(a)가 아니라 p(a|b)를 구하는 문제라고 생각하고요. 적어도 유게의 게시물에서는말이지요.
11/02/24 23:03
고등학교 학생들에게 수학을 가르치고 있는 수학강사입니다..
이건 p(a)를 물어보는게 맞는거 같습니다.. 글쓴분께서 조건부확률을 들어서 말씀을 하시는거 같은데.. 이경우는 아니죠.. 제가 유게에 있는 모든 댓글을 보지는 않았지만.. 이경우는 1/4이 답이지 않는가 생각해봅니다.. 내일 고3아이들에게 저도 문제를 내봐야겠군요... 한창 머리 잘 돌아가는 아이들은 저를 이해시켜줄지 모르겠네요.. 한장을 숨긴뒤 12장을 연속으로 다이아를 뽑아도 답은 1/4가 아닌가요?
11/02/24 23:04
피지알의 위대함(?)을 다시 한번 깨닫게 해주네요..과연 국내의 어느싸이트에서 확률문제 하나로 이 만한
퀄리티의 글과 댓글이 올라올까요
11/02/24 23:05
위의 풀이가 맞습니다. 문제가 묻는 것은 다이아 세개를 연속으로 뽑은 시점에서의 상자안에 다이아가 들어있을 확률을 구하는 문제가 되겠네요. 1/4은 처음의 경우 다이아일 확률은 당연 1/4이가 되겠지만 처음의 뽑은게 다이아일 사건과 처음 한장을 뽑고나서 다이아 세장인 사건이 서로 독립적이지 않기 때문에 위 식에선 P(A*b) 는 P(A)*P(B)가 아님을 알수있죠. 직관적으로도 당연히 그렇게 알수 있겠지만요.
즉, 처음의 뽑은 카드가 뭐일지의 확률은 다음카드를 뭐뽑는 지에 따라 달라지게 됩니다. 다이아가 세장이 아니라 열세장을을 연속으로 뽑았다면 P(A)는 당연 0이란 것 알 수 있는 것처럼요.
11/02/24 23:09
이거 그냥 트럼프 사놓고 직접 해보면 안될까요???10/49면 약 1/5이고 다른 답은1/4이니.....한 1000번 돌려보면 확률
나올것 같네요..
11/02/24 23:09
재미를 곁들여 예시를 들어보죠. 천랑성과 김삼목이 대결을 하고있습니다. 김삼목이 52장의 카드 중 하나를 상자에 넣습니다(어떤 종류의 카드인지 알 수도 있고 모를 수도 있습니다.) 그리고 김삼목은 천랑성이 지켜보는 가운데 나머지 51장의 카드 중 3장을 뒤집어놓습니다. 마침 3장은 전부 다이아카드가 나왔습니다.(천랑성은 김삼목의 고의성을 알 수가 없습니다) 김삼목은 천랑성을 주시하고 있습니다.
여기서 천랑성은 상자속의 카드를 때려맞춰야 하는 입장이고 믿을 건 본능과 감각,그리고 확률뿐입니다. 과연 천랑성은 바닥에 놓여진 다이아카드 3장에 어떤 의미를 부여할 수 있을까요. 확률적인 의미를 부여한다면 당연히 번개같은 스피드로 10/49의 확률을 계산해냈을 겁니다. 타짜가 커온 그의 수리능력은 타의 추종을 불허합니다. 그러나 김삼목의 눈을 바라보던 천랑성은 본능적으로 이상한 느낌을 받습니다. 이 확률을 그대로 받아들일 것인가. 고의적이라면 오히려 반대로 생각해야되는 것은 아닌가. 여기서 고의성의 여부는 마치 몬티홀과 비슷한 느낌을 줄 수있지만 저는 이것을 믿음의 문제로 생각합니다. A라는 확률을 믿으려 할 때, 'A라는 확률을 믿을 수 있을 확률'을 계산할 방법은 없습니다. 이것은 주관적인 믿음의 차이입니다. 김삼목은 다이아3장을 깔았지만 그 확률에 흔들리는냐의 여부는 천랑성의 본능입니다. 천랑성의 머리는 또다시 회전합니다. 만약 김삼목이 고의적으로 선택을 유도했다면 상자속에 다이아가 있을 확률은 그대로 1/4이지 않는가. 어디부터 어디까지를 믿을 것인가. 김삼목의 시행이 진정한 신용을 얻기 위해선 다이아 13장이 모두 깔린 다음에야 '상자속에 다이아카드는 없다'고 확신할 수 있을 따름인 겁니다. 3장이 깔리든 5장이 깔리든 그것이 김삼목의 트릭이라면, 혹은 '우연'이라면 확률은 그대로 1/4이지 않을까. 천랑성은 담대해서 다이아가 10장이 깔리는 극단적인 상황에서도 흔들리지 않으며 13장이 모두 깔리는 0의 상황에 이르기전엔 자기 생각을 굽히지 않았습니다. 물론 머리속엔 온갖 확률과 수학적 계산이 유혹하고 있었지만 천랑성은 김삼목을 믿지 않았습니다. 소설같아서 여기까지만 하겠습니다. 핵심은 이 문제가 확률밖의 확률을 묻고있다는 점입니다. 저는 이 문제가 '확률을 믿을 확률'에 대한 이야기를 하고있다고 생각합니다. 혹시 하고싶은 말씀있으시면 이젠 쪽지로 해주세요 둘 다 답이 될 수 있다고 생각합니다.
11/02/24 23:13
P(A|B) 를 물어보는 거냐 P(A)를 물어보는거냐 어떤거냐에 따라 다르다..
혹은 이것은 해석에 따라 달라지는 국어문제이다 확률의 정의가 다르다 이런 식으로 생각하시는 분이 있는데, 이 문제에서 무슨 모호한 표현이 있는게 아닙니다. 적어도 정규 교육과정에서 가르치고 있으며 다수에게 상식적인 선에서 통용되거나 혹은 학술적으로 다룰때 거론되는 확률의 의미는 정해져 있습니다. 그걸 잘 이해하고 있거나, 아니면 잘못이해하고 있거나 둘중의 하나입니다. 물론 나름대로의 확률의 정의를 생각하고 말할수 있을지 모르지만, 대개 통상적으로 범하는 실수를 하고 있거나 아니면 다수와 소통하기 어려운 자신만의 언어세계를 이야기하는 것일 뿐입니다. 우리가 쓰는 확률은 다음과 같습니다. "~~ 이러쿵 저러쿵.. 어쩌구 저쩌구 한 상황이다" - 상황 ~~ 할 확률을 구하여라. -사건 단순합니다. 상황을 여러번 반복하였을때 사건이 몇번인가를 세면 됩니다. 그것이 확률입니다. 나중에 한사건이 확률에 영향을 끼치는가 마는가.. 다소 형이상학적인 고민해봤자, 말장난의 함정에 빠질뿐입니다. 단순무식하게, 정의대로 적용하면 됩니다. 몬티홀문제도 그렇게 하면 허무할 정도로 쉽게 풀리구요. 상황은 다음과 같습니다. "카드를 한장 먼저 뽑아두었고, 그리고 나서 3장의 카드를 뽑았더니 다이아더라, " 여기까지가 상황입니다. 먼저 뽑아두었던 카드가 다이아일 확률은 무엇인가? 상황을 여러번 반복했을때, 사건이 몇번 일어났는가를 세면됩니다. 카운트하면 10/49 나옵니다. 착각1 ) 가장 먼저 3장뽑았는데 다이아 였다, 그 다음에 뽑은게 다이아일 확률과 차이가 없냐? -> 차이가 없습니다. 둘다 10/49 입니다. 착각2 ) 카드를 먼저 한장 뽑아두었고, 사회자가 개입하여 남은 카드중 다이아 3장을 제거 하였다. 이때 먼저 뽑아둔 카드가 다이아일 확률은? -> 이경우는 차이가 생깁니다. 1/4 입니다. 착각3 ) 위상황과 같은데, 사회자가 다이아 3장을 제거했다고 말하고 확률이 바뀌었습니까? 라고 물었다 결과는? -> 마찬가지 입니다 바뀌지 않습니다. 1/4입니다. 몬티홀 문제를 정확히 이해 못했다면 이부분이 이해안가실수 있습니다. 어려운 말이나 복잡한 용어로 생각하지 마시기 바랍니다. 확률계산이 편리하긴 하지만 함정이 많습니다. 그냥 단순히 상황을 반복하시고 사건이 발생한 경우를 세십시오. 사실 그게 확률의 전부입니다.
11/02/24 23:14
당신과 내가 게임을 합니다.
카드가 5장 있습니다. 이중에 하나는 동그라미가 표시되어 있고 나머지는 없습니다. 이 카드를 무작위로 섞어서 당신 앞에 놓습니다. 편의상 카드 [1],[2],[3],[4],[5]라고 합시다. 이 때 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5입니다. 카드 [1]을 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/4입니다. 카드 [2]를 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/3입니다. 카드 [3]을 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/2입니다. 카드 [4]를 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/1입니다. 다시 섞어서 당신 앞에 내놓습니다. 이제 당신은 마음 속으로 5를 찜해 놓습니다. (저게 분명히 동그라미일 거야) 하지만 그 사실을 아무에게도 말하지 않고 마음 속으로만 알고 있습니다. 이 때 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5입니다. 카드 [1]을 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/4입니다. 카드 [2]를 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/3입니다. 카드 [3]을 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/2입니다. 카드 [4]를 뒤집었더니 꽝입니다. 이제 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/1입니다. 다시 섞어서 당신 앞에 내놓습니다. 이제 당신은 확신을 얻었습니다. 당신은 이렇게 크게 외치고 카드 [5]위에 컵을 씌워 놓습니다. "패 건들지 마. 손모가지 날라가분께" 이 때 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5입니다. 카드 [1]을 뒤집었더니 꽝입니다. 그래도 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5일까요? 카드 [2]를 뒤집었더니 꽝입니다. 그래도 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5일까요? 카드 [3]을 뒤집었더니 꽝입니다. 그래도 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5일까요? 카드 [4]를 뒤집었더니 꽝입니다. 그래도 카드 [5]가 동그라미일 확률은 1/5일까요? 유게의 문제의 트릭은 선택을 미리 했다고 말한 것입니다. 선택을 미리했다고 해서 달라지는 건 아무것도 없습니다. 내가 마음 속으로 5번이 동그라미라고 믿고 있건, 아무 생각 없이 5를 보고 있건, 큰소리 치고 5번에 컵을 씌워 놓건 관계없이 카드가 하나씩 까질 때마다 확률은 변하는 것입니다. 선택을 미리해서 금고 속에 넣어놓으나 그냥 옆에 놔두나 마음 속으로만 찜을 하나 달라지는 건 없다는 말이죠.
11/02/24 23:21
댓글들을 방금까지 다 읽어보았습니다
이문제는 처음에 뽑은 카드가 다이아일 확률인 문제입니다... 뒤에 다이아를 연속 3장을 뽑았다는건 조건부확률을 쓰게끔 하는 함정으로 생각이 듭니다. 10/49로 답이 나오신 분들은 그 함정에 빠진걸로 생각이 들구요.. 1장을 감추고 어떤식으로도 3장을 뽑던 답은 1/4라고 생각합니다. 근데 예를 들어 다이아1, 하트1, 클로버1 를 뽑았다고 문제가 나오지는 않겠지요.. 그럼 전국1등이나 반에서 10등이나 모두 1/4라고 할테니까요.
11/02/24 23:23
조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤,
어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다. 그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 12장을 뽑았는데, 12장 다 다이아였다. 이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가? 이문제의 답을 생각해보면 쉽게 이해가 될거라 생각합니다
11/02/24 23:29
댓글을 천천히 읽다보니 느낀건데,
저 이후의 다이아 3장을 '일부러 다이아만 뽑았느냐', '우연히 다이아만 나왔느냐' 이것이 핵심이네요. 3장만 '일부러 뽑았다'일 경우, 1/4가 맞지요. 앞의 상황이 어떻건 무조건 다이아 3장을 뽑을 수 있으니까요. 하지만 '우연히 뽑았다'라면 이야기가 달라집니다. 왜냐하면 앞에 뽑힌 카드에 따라, '우연히 다이아 3장이 나올 확율'이 달라지니까요.
11/02/24 23:29
higher templer님//두개의 시간적 순서에 관계없이 같은 문제입니다.
만약 동시에 일어난거라면 어떨까요? 내가 하나의 카드를 꺼낼때 순간 세장이 뒤집힌겁니다. 그런데 우연히도 다이아 세장이 나왔네요. 시간적 선후관계가 없다고 생각하면 오히려 이해가 되실지도 모르겠네요. 시뮬레이션으로 이미 답은 나왔고.. 이제 어떻게 이해하느냐의 문제인데, 참 어렵네요..
11/02/24 23:37
굽네시대 님// 수학을 얼마나 잘하시는분인지 궁금하군요.. 어려운 수학책으로 공부하라는 충고를 듣게되네요...여기서... ^^
전 실력이 허접하여 1등급 아이들 10명을 놓고 수업을 하는 그냥 연봉 1억이 좀 안되는 그런 허접한 강사입니다. 교재는 요새는 일등급수학으로 하고 있구요.. 그거 사실 별로 안어려워요... 전 수능을 목적으로 하기 때문에 문제를 읽는 방법을 제일 중요하게 생각합니다.. 제가 읽었을때 이 문제는 들어갈로 해석을 해야 한다고 생각합니다...
11/02/24 23:37
사실 몬티홀 문제와 같은 경우에서
"사회자는 자동차의 위치를 알고 염소를 열었는가" 와 "사회자도 자동차의 위치를 모르면서 나머지 두 개 중 하나를 열었는가" 이 두 경우의 차이를 이해한다면 쉽게 풀릴 문제인데, 너무 멀리 왔습니다 -_-;;
11/02/24 23:46
사실 몬티홀의 변형중 하나라고도 할수있겠네요, 몬티홀 문제의 정반대 변형.
사람의 확률과 기대값에대한 직관은 신기하게 인지의 영향을 많이 받는것 같습니다. 뉴콤의 패러독스 생각이 나네요. 실속차려 씨와 똑똑해 씨의 대결. 처음 상자에 돈을 넣고 떠난 외계인과 남아있는 상자를 열까말까 고민하는 사람. 그때 당시에 결정론과 시간의 선후관계란 뭘까에 대해 고민을 많이 했었는데 말이죠...
11/02/24 23:52
"들어갈" , "들어있을" 의 차이라고 생각하시는 분에게 말합니다.
출제문제에 만약 "들어갈"이라고 썼다면 수학문제로 출제하긴 어려운 문장이 됩니다. 제가 위에도 말했지만 대입출제위원회에서 분명 수정시킬 겁니다. 확률문제는 "상황"의 기술이 들어가고 "사건"의 확률을 물어보는 구조로 되어있습니다. 확률문제가 잘 되어있는 문제인가를 판가름 하는 방법중에 해당 "상황"에서 "사건"의 발생여부를 판별하는 방법이 명확한가를 따질수 있어야 합니다. "이때, 상자속의 카드가 다이아일 확률은" 이라는 질문이 발생한 시점에 "사건"의 발생여부를 판별하는 방법은 상자속의 카드를 확인하는 겁니다. 그리고 그렇게 하면 10/49가 나오구요. "상자속에 카드가 [애초에] 들어갈 확률은?" 이라는 질문이었다면 또한 그것의 뜻이 애초에 상자에 카드를 넣는 시점의 확률을 계산하는 것이라면, 문제에서 서술한 상황속에서 사건의 발생여부를 무슨수로 확인하겠습니까? 이건 실제 시행에서는 구할수 없으며 어디까지나 이론적으로 구하거나 상황의 서술이 끝나기 전에 미리 까서 확인하는 수밖에 없습니다. 확률문제로써 실격이라는 뜻이지요.
11/02/24 23:52
마바라님께서 "들어갈" "들어있을"이라고 (두 단어가 비슷해서 헷갈릴 요지가 있게)표현하셨는데
이 말들은 결국 시간상 *시점의 차이*를 말하는 것이죠. (그리고 이 문제에서 시간상 시점의 차이는 후에 '우연히 3장뽑은게 다이아였다'는 것을 *전제하느냐 *전제하지 않느냐로 나뉩니다.) "들어갈"은 맨 처음 카드 뽑는 순간의 확률을 묻는게 되는거고, 뒤의 우연히 3장 뽑은게 다이아였다는 사실이 답에 영향을 못주죠. 답 1/4 "들어있을"은 우연히 3장뽑은게 다이아인 순간의 확률을 묻는게 되는거고, 우연 3장다이아의 사실을 전제하게 됩니다. 답 10/49 문제 원문에서 "이 때"라는 말은 그 앞에 써있는 사실들을 모두 전제하는 겁니다. 그 전제가 답에 영향을 미치든 못미치든 말이죠. 하지만 저 우연히 3장뽑은게 다이아였다는 전제는 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률에 명백히 영향을 미칩니다. ('옆집 아주머니가 임신했다'같은 전제라면 아무리 넣어도 답에 영향을 못미치겠지요.) "들어있을"로 해석해야 합니다.
11/02/24 23:55
이거 무서워서 댓글도 못달겠습니다...
자칭 수학강사라는 사람이 여기서 해맨다는 소리도 듣고, 더 어려운책으로 공부해야 한다는 말도 듣고 말이죠.. 10/49라고 답을 하시는 분들도 자기만의 해결방법으로 하셨겠지만. 저도 저만의 결정으로 내린 답이 1/4입니다. 근데 이문제의 정확한 답이 있는겁니까? 내일 저희 연구실에 계시는 저보다 훨씬 실력좋으신 분들과 상의해보겠습니다. 자기랑 답이 다르다고 해서 답답해하지는 맙시다. 옆에 있으면 큰소리도 못칠거 같은 사람들이 얼굴 안보인다고 말 그렇게 하는거 아닙니다. 저도 감정이 격해져서 이런글을 쓰지만, 조금만 더 생각하고 글을 쓰셨으면 좋겠네요...
11/02/24 23:55
1/4가 답이 될 문제는 제가 처음에 문제를 잘못 읽었던 것처럼
첫번째 카드를 뽑은 다음 보지 않고 다시 카드 묶음 속으로 집어넣고 잘 섞은 다음에 뽑은 3장의 카드가 연속해서 다이아가 나왔고 이때 첫번째에 뽑은 카드가 다이아몬드 였을 확률은? 이란 문제입니다. 이 문제에서는 첫번째 카드의 경우의 수는 뽑은 3장의 카드던 앞으로 더 뽑을 카드던 전혀 영향을 받지 않고 언제나 1/4의 확률을 유지하죠. 후에 뽑은 카드가 연속해서 13장 모두 다이아가 나와도 첫번째 카드는 다이아일 확률이 1/4가 됩니다. 하지만 우리가 풀고 있는 문제는 첫번째 카드를 도로 집어넣은게 아니라 옆으로 빼둔거죠. 카드가 한장 한장 새로 뽑힐때마다 첫번째 카드가 다이아일 확률은 변합니다. 만약 카드를 뽑다가 다이아가 13장이 나오면 첫번째 카드가 다이아일 확률은 0이 되어버리니까요. 문제에서 이때 라고 했으면 그 시점에서 확률을 계산해서 답을 도출해야 합니다.
11/02/24 23:58
토론에 뒤늦게 참여하시는 분들은 유게와 밑에 300개가 넘개 달린 리플을 읽고 오시면 좋겠군요..
같은 말이 몇 번이나 반복되고 재결론 나는지-_-; 이미 시점에 따른 해석차이인가 아닌가? 몬티홀과 같은 문제인가 아닌가? 몬티홀과 같은 조건이 되려면 어떻게 해야하는가? 전부 토론이 이루어졌고 나름 결론이 났습니다. 읽고 오세요.
11/02/25 00:02
여담이지만 오늘 회식때 제 주위 사람에게 이 문제 냈더니 모두가 1/4라고 하더군요.
한참을 설명해서 결국 모두에게 10/49라는 것에 대해 납득을 시켰지만 이를 부정하다 결국 긍정할 수 밖에 없는 단계에서 하는 말이 마바라님의 말씀처럼 '애초에 들어 있을 확률을 묻는 줄 알았다'라는 것입니다. 그러나 실제로 질문을 잘못 이해해서 1/4라고 대답한 게 아닙니다. 트릭에 속았기 때문이죠. 그들이 트릭에 속은 것은 '상자에 넣었다'는 것입니다. 상자에 넣었으므로 이것은 변할 수 없고 그래서 이것의 확률은 언제나 1/4일 수 밖에 없다는 거죠. 그들이 처음에 한결같이 한 말은 '이미 선택했기 때문에 이후에 어떤 조건이 발생한다해도 확률이 변화하지 않는다'는 주장을 한 것을 보면 이런 생각을 했다는 것을 알 수가 있습니다. 제가 처음에 이문제에 대해 1/4라고 답할 때 했던 생각도 이런 것이었구요. 처음에 한장을 뽑아서 '상자에 넣었다'라는 것은 실제로 시행이 되지 않은 것입니다. 확률은 까서 뒤집어봤을 때 현실화되는 것이지 선택만 한다고 해서 현실화되는 것은 아니죠. 그들이 착각한 것은 그냥 선택만 한 것을 시행된 것이라고 착각한 것입니다. 확률이 1/4이라는 것은 네번을 까보면 그중에 한번은 나온다는 것이지 마음속으로 천만번 선택을 하건 말건 그것은 그냥 현실화되지 않은 것입니다.
11/02/25 00:09
사회적으로 합의가 있는 정답이 있는 문제입니다.
제 생각에는 확률이은 헛점도 맹점도 있는 파트라서.. 모든 확률은 맞다 아니다 결국 1/2의 확률이 아닌냐는 논리 또한 있습니다. 전 맞다고 생각하지 않지만요.. 다만 사회적으로 조건부 확률이라는 사회적 합의가 있는 문제라는 겁니다.. 정답이 사회적으로 정해진것을 굳이 토론할 필요는 없다고 생각해요.. 10/49쪽에서는 프로그램도 돌리고 유사문제도 내고 있는데 1/4라고 생각하시는 분들의 근거는 그에 비해 확실히 빈약합니다..
11/02/25 00:11
원래 유게에 있던 코드가 좀 이상한듯 싶어서 제가 별도로 해봤습니다.
이걸로 돌려봤을때는 1/4이 나오더군요. 혹시나 잘못된 부분이 있으면 말씀 부탁드립니다. struct Card Card( int nType_, int nNumber_ ) : nType( nType_ ), nNumber( nNumber_ ) { int nType; int nNumber; }; typedef std::vector < Card > vecCard; typedef vecCard::iterator ivecCard; void Shuffle( vecCard& deck ) int n1, n2; for ( int i = 0; i < 100; ++i ) { do { n1 = rand() % 52; n2 = rand() % 52; std::swap( deck[n1], deck[n2] ); } } int OneTest( vecCard& deck ) Shuffle( deck ); int nChoose = rand() % 52; int nC1, nC2, nC3; do nC1 = rand() % 52; while ( ( nC1 == nChoose ) && ( deck[nC1].nType != 0 ) ); do nC2 = rand() % 52; while ( ( nC2 == nChoose || nC2 == nC1 ) && ( deck[nC2].nType != 0 ) ); do nC3 = rand() % 52; while ( ( nC3 == nChoose || nC3 == nC1 || nC3 == nC2 ) && ( deck[nC3].nType != 0 ) ); return deck[nChoose].nType == 0; std::wstring Test() vecCard deck; srand( GetTickCount() ); for ( int t = 0; t < 4; ++t ) { for ( int n = 0; n < 13; ++n ) deck.push_back( Card( t, n ) ); int nSuc = 0, nFail = 0; for ( int i = 0; i < 10000000; ++i ) if ( OneTest( deck ) ) ++nSuc; else ++nFail; wchar_t result[256]; swprintf( result, L"Suc = %d, Fail = %d\n", nSuc, nFail ); return result; }
11/02/25 00:12
1장을 골랐다. 3장을 뒤집었더니 다이아 세장이 나왔다. 이때 상자안의 카드가 다이아일 확률은?
1. 1장을 골랐다(1/4) 2. 3장을 뒤집었더니 다이아가 나왔다(이런저런 확률로 이 일이 일어났다) 그리고 한번 생각해보자 (1번으로 가서) 상자안의 카드가 다이아일 확률은? 그러렇다면 이경우에서(2번) 상자안의 카드가 다이아일 확률은?
11/02/25 00:20
일본의 한 네티즌이 올린 "정답이 4분의 1이라는 걸 납득할 수가 없어! 49분의 10이잖아!!"라는 단말마가
바다건너 대한민국으로 넘어와 인터넷에서 이런 파란을 일으키다니.... 인터넷의 힘이란
11/02/25 00:21
원 문제가 이겁니다.
========================================== 옛날 어떤 대학 입시 문제로, 조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤, 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다. 그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다. 이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가? =========================================== 제 기준에서 마지막 문장 빼고 전부 조건입니다. 아니라는 분들은 솔직히 제 논리로는 이해가 안갑니다. '상자 안의 카드가 다이아일 확률' 이게 어째서 다이아가 들어갈 확률입니까. 조건이 있고 - 시행을 해서 - 결과를 확인 이 과정을 무한 반복했을 때 계산 결과와 같아야 확률아닙니까. 확인을 해봤을 때라는 것은 상자를 열어보는 행위이지 다이아가 들어갈 확률이라니요..-_-
11/02/25 00:25
음 윗 댓글에 적긴 햇지만 덧붙이자면 확률이라는 것은 어떤 사건 즉, event와 그리고 일어날 수 있는 모든 사건들 sample space안에서 여러번의 시행속에서 그 event가 일어나게 되는 상대적 빈도라고 할 수 있습니다. 여기서 이것들을 이 문제에 어떻게 적용시키는 가가 문제를 푸는 과정이라고 볼 수 있겠는데요. 사실 들어'갈' 들어'있의' 확률의 용어에 대해서는 여기서 문제가 되지 않습니다. 문제가 되는 것은 각각의 event와 sample space가 무엇으로 보는 가에 따라 달라지기 때문입니다.
먼저 1/4이된다는 것은 sampe space = (다이아), (비다이아) 이고 구하고자 하는 사건, event가 다이아 인 셈입니다. 그러나 문제의 조건은 2번째,3번째,4번째가 다이아가 나왔고, 첫번째 나온 카드를 확인 하는게 시행이 되므로 여기서 experiment가 무엇인지 생각해보면 구하고자 하는 확률이 무엇인지 알 수 있습니다. 즉 여기서 확률을 구하기 위해서 실험 혹은 시행을 한다는 것은 2,3,4장이 다이아가 나온 상태에서 첫번째 장이 무엇인지 확인해 보는 것이 됩니다.
즉 sample space는 다이아, 다이아, 다이아, 다이아 와 비다이아,다이아,다이아,다이아 가 되는 셈입니다. 즉 처음 꺼내어 바로 확인 했을 때 다이아일 확률은 다이아 =13. 비다이아 =(52-13) 으로 모든 경우가 동등하다면 1/4이 되겠지만 이 문제의 실험에서 구하는 확률은 다이아, 다이아, 다이아, 다이아 와 비다이아,다이아,다이아,다이아 에서 전자가 나오는 경우의 빈도를 구하는 것이 됩니다.
다이아, 다이아, 다이아, 다이아 의 경우의 수는 = 13*12*11*10이고
비다이아,다이아,다이아,다이아 = (52-13)*13*12*11 이기 때문에 모든 경우가 동등하다고 보고 수학적 확률을 구하면
13*12*11*10 / (13*12*11*10 + (52-13)*13*12*11 ) = 10/49 가 됩니다. 위의 조건부 확률로 푸는 것도 이와 동일합니다.
11/02/25 00:25
저도 과외를 해봐서 아는데요. 제자가 문제를 읽을때 그 문제를 수학문제로 안보고 다른 생각을 집어넣고 풀때가 제일 설명하기 어렵습니다.
예를 들어 만약 이영호 선수가 90%승률을 가지고 있고 이 선수가 연속으로 3번 이길 확률을? 이란 문제가 나왔다면 제 제자는 수학적으로 사고해서 0.9를 세번 곱하는게 아니라 이영호 선수가 이전에 90%를 이겼던 선수라도 앞으로의 경기가 꼭 그 데이터에 따라서 간다고 할수 없으니 경기를 이긴다 진다 두가지 경우에 놓고 1/2 확률로 이긴다 그러니 0.5를 세번 곱해야 한다고 풀고 있는 겁니다. 이건 수학문제라고 설명해도 그럼 문제가 이상한거래나 뭐래나 하면서 자기처럼 생각할수도 있다 하겠죠. 저도 이 문제는 Love&Hate님 말씀처럼 수학문제로써의 합의가 되어 있는 문제라고 생각합니다. 다르게 생각해서 다른 답이 나올만한 여지가 없다고 생각해요.
11/02/25 00:28
그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아일 때의 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가?
이렇게 이해하는게 맞는거고 따라서 10/49 인거 맞죠??
11/02/25 00:38
김연우님, 공실이님, Dizzy님의 조언대로 틀린 조건을 수정해 보니 10/49에 근접한 값이 나왓습니다. 지적해주신 세분께 감사 드립니다.
저도 1/4가 맞지 않을까 했는데 시뮬레이션 결과로는 10/49가 맞다고 거의 확신하게 되었습니다. 수정한 소스코드입니다. struct Card Card( int nType_, int nNumber_ ) : nType( nType_ ), nNumber( nNumber_ ) { int nType; int nNumber; }; typedef std::vector < Card > vecCard; typedef vecCard::iterator ivecCard; void Shuffle( vecCard& deck ) int n1, n2; for ( int i = 0; i < 100; ++i ) { do { n1 = rand() % 52; n2 = rand() % 52; std::swap( deck[n1], deck[n2] ); } } int OneTest( vecCard& deck ) Shuffle( deck ); while (true) { int nChoose = rand() % 52; int nC1, nC2, nC3; do nC1 = rand() % 52; while ( ( nC1 == nChoose ) ); do nC2 = rand() % 52; while ( ( nC2 == nChoose || nC2 == nC1 ) ); do nC3 = rand() % 52; while ( ( nC3 == nChoose || nC3 == nC1 || nC3 == nC2 ) ); if ( deck[nC1].nType == 0 && deck[nC2].nType == 0 && deck[nC3].nType == 0 ) return deck[nChoose].nType == 0; } std::wstring Test() vecCard deck; srand( GetTickCount() ); for ( int t = 0; t < 4; ++t ) { for ( int n = 0; n < 13; ++n ) deck.push_back( Card( t, n ) ); int nSuc = 0, nFail = 0; for ( int i = 0; i < 10000000; ++i ) if ( OneTest( deck ) ) ++nSuc; else ++nFail; wchar_t result[256]; swprintf( result, L"Suc = %d, Fail = %d\n", nSuc, nFail ); return result; }
11/02/25 00:44
친구, 사촌형, 사촌동생에게 이 문제를 물어보니 모두들 10/49라고 합니다. 결과적으로 확률은 변하고 이걸 적용해야한다구용.. 전 수학을 잘 모르지만, 사촌형이나 사촌동생도 이와 비슷한 유형의 수학문제를 풀어본적이 있다고 합니다. 울나라 교육계에서도 이런 문제를 낸다하면 정답은 10/49로 처리할거라네요.. 이게 울나라 교육계에서의 합의라면 합의겠지요? 그리고 이 사람들이 10/49라는 결론을 내린 이유는.. 이미 피지알의 수많은 댓글과 공통되네요.
11/02/25 00:54
이렇게 생각해보면 어떨까요?
지금 내 눈앞에서 어떤 사람이 카드를 3장 공개했는데 다이아 3장이 연속해서 펼쳐졌어.......(뽀록 쩌는데..) 근데 상자속 카드가 다이아일 때 이런 뽀록이 더 발생할 확률이 높을까? 아니면 상자속 카드가 다이아가 아닌 다른 무늬일때 이런 뽀록이 더 잘 발생할까? 아무래도 상자속 카드가 다이아가 아닐때 이런 뽀록이 더 잘 발생하겠군. 그래서 상자속 카드는 다이아일 확률이 1/4보단 조금 줄었을 것 같아... 구체적 수치만 없을 뿐이지 왜 답이 1/4보다 작은 확률인 10/49인지를 설명할 수 있지 않을까요?
11/02/25 01:00
엄청나게 이해하기 쉽게 정리해드리겠습니다.
======================================== 5지 선다형 문제를 찍어서 맞출 확률이 1/5 입니다. 하나씩 고를 때마다 정답인지 오답인지 바로바로 알수 있다고 쳐요. 그래서 3개를 차례대로 골랐는데 다 오답이 나왔습니다. 이때, 나머지 두 개 중에 정답이 있을 확률은? ========================================= 1. 먼저 원문제에서 카드 확인하고도 1/4이라고 하시는 분들은 지금 이 예제만 읽어도 이해가실겁니다. 2.시점에대해 합의가 안끝나신 분들은.. 지금 오답을 3개 지우고서는 "이때, 문제가 5지선다였냐? 4지선다였냐?"를 묻는 거라고 이해하고 계신겁니다. 3.몬티홀과 비교하자면, "오답을 지운 사람이문제를 만든 출제자"이고 그 사실을 문제푸는 사람이 안다면 오답을 3개 지우고도 확률은 1/5입니다. 그리고 남은 한 개로 선택을 바꿀시에 4/5의 확률로 정답을 맞춥니다. 따라서 원문제의 답은 : 10/49입니다.
11/02/25 01:10
3장을 뽑은 경우가 아니라 4장, 5장, 6장을 뽑아서 모두 다이아인 경우의 문제도 생각해 보세요.
이 모든 문제의 답이 1/4이라고 생각하신다면 13장을 뽑아 모두 다이아가 나온 경우에도 상자에 있는 카드가 다이아인 확률은 1/4이라는 말이 되는 겁니다. 이는 명백한 오답입니다. 요약하자면 "52장의 카드중 한장을 상자에 넣고 13장을 뽑았는데 모두 다이아였다. 상자에 넣은 카드가 다이아일 확률은?" 이 문제의 답은 명백히 0% 입니다. "52장의 카드중 한장을 상자에 넣고 0장을 뽑았는데 모두 다이아였다. 상자에 넣은 카드가 다이아일 확률은?" 이 문제의 답은 명백히 25%입니다.
11/02/25 01:18
51회 시행했다면-> 다이아 12개, 다이아 아닌것 39개가 나왔을 것입니다-> 남은카드는 다이아1개,다이아아닌것 0-> x가 꺼낸 카드가 다이아일 확률=1/(1+0)=1
50회 시행했다면-> 다이아12개, 다이아 아닌것 38개가 나왔을 것입니다.-> 남은카드는 다이아1개, 다이아아닌것1개->x가 꺼낸 카드가 다이아일 확률=1/(1+1)=1/2 ... 1회 시행했다면-> 다이아1개-> 남은카드는 다이아12개, 다이아아닌것 39개->x가 꺼낸 카드가 다이아일 확률=12/(12+39) 0회 시행했다면-> 남은카드는 다이아13개, 다이아아닌것 39개->x가 꺼낸 카드가 다이아일 확률=13/(13+39)=1/4 확률이라는게 시행을 할수록 변하는거 아닌가요? 'x가 꺼낸 카드가 다이아일 확률'이 1/4로 고정된다면, 51회 시행했을때도 확률이 1/4이 되어야 한다는 모순이 생긴다고 생각합니다.
11/02/25 01:57
뻘댓글 달았던 기념으로 간단히 다른 방식으로 풀어봅니다.
무작위 카드 3장의 선택이 먼저라는 표현이 헷갈리게 할수 있으니, 단순무식하게 경우의 수를 따져보면 N.총 경우의 수 : 52C1 * 51C3 = 1082900 A. 상자카드 다이아O,무작위3장모두 다이아 O : 13C1 * 12C3 = 2860 B. 상자카드 다이아X, 무작위3장모두 다이아 O : 39C1 * 13C3 = 11154 C. 상자카드 다이아O, 무작위3장모두 다이아 X : 13C1 * 39C3*12C0 + 39C2*12C1 + 39C1*12C2 = 267865
D. 상자카드 다이아X, 무작위3장모두 다이아 X : 39C1 * 38C3*13C0 + 38C2*13C1 + 38C1*13C2 = 801021
A/(A+B) = 10/49
11/02/25 02:00
우와.. 크크크크. 이게 뭔가요. 며칠사이에 이런 재밌는 일이 있었다니....
처음엔 저도 당연히 1/4아니야? 라고 생각했다가 몇몇분 설명 읽고서 10/49로 생각이 바뀌었습니다. 물론 처음엔 이해하지 못했지만, 지금은 너무나 당연한 이치라고 생각드는데 이게 동의가 안된다니 굉장히 신기하네요. 그것도 현업으로 수학강사를 하시는 분이나 그밖에 많은 똑똑한 분들께서 말이죠. 크크크.
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