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11/02/23 22:24
근본적으로
상자 안에 카드를 넣고 그 카드 자체를 살짝 봐서 그 카드 상태를 안 다음 그 카드가 다이아일 확률은 묻는거랑 같지 않을까요
11/02/23 23:11
유게에서 많은 분들이 1/4이 아니라고 생각하시는것 같아서 저는 매우 슬프고, 또한 저의 논리력이 부족해서 제대로 설명을 못드려서 슬픕니다.
아니면 제가 이 문제를 잘 못 이해하고 있는 것일테고, 공과대학 4년과정을 거치면서 이런 확률문제를 하나 제대로 이해하지 못하는 것이기에 또 슬픕니다. 이래저래 슬픈 문제군요.. 하지만 일생일대의 중요한 면접에서 질문하더라도 저는 1/4이라고 대답할 것 같습니다.
11/02/23 23:25
처음 카드를 뽑았을때 다이아몬드일 확률은 1/4이 맞습니다.
그리고 연속으로 3장을 뽑았는데 다이아모드 3장이나온건 그냥 우연한 케이스중에 하나죠. 그리고 연속으로 5장, 7장, 12장을 뽑았는데 정말 신기하게도 다이아몬드만 연속으로 나왔다고 해도 우연한 케이스일 뿐이죠. 그리고 13장 연속으로 뽑았는데 모두 다이아몬드일수도 있겠지요. 그래도 우연히 3/4(첫카드가 다이아몬드가 아닐 확률)에 걸린 것일 뿐 첫카드의 확률에 영향을 미치진 않습니다. (첫카드가 다이아몬드였다면 13장 연속으로 뽑았을때 모두 다이아몬드인 경우는 발생하지 않겠지요) 처음에 뽑은 카드 때문에 펼쳐질 카드의 확률에 영향을 미칠뿐 그 역은 성립하지 않기 때문에 1/4이 답일 것입니다.
11/02/23 23:33
뽑혔을 당시의 확률을 계산하면 그 뒤의 행위가 앞의 행위에 영향을 주지 않기 때문에 1/4가 맞습니다만. 이 문제에서의 시점은 3장이 다이아라는걸 확인했을 당시(이미 3장은 다이아라는걸 알고 있는 시점에)서의 확률이므로 10/49 아닌가요?..
11/02/23 23:36
유게에도 댓글 달았지만
전 궁금한게 몬티홀 문제와 비교해봐도 (답이 10/49라고 주장하시는분들께) 1.몬티홀 문제에서 문을 바꿀경우 상품 탈 확률 1/2 안탈 확률 1/2 문을 안 바꿀경우 상품 탈 확률 1/3 안탈 확률 2/3라고 하셨는데 그럼 이 문제도 카드 문제와 비슷한 경우 아닌가요...? 2.카드 문제에서는 52장 있을 때 는 1/4 확률이지만 3장이 다이아가 나오고 나서 10/49의 확률로 바뀌면 몬티홀에서도 애초에는 1/3의 확률일진 몰라도 문을 열고 난후에는 2개의 문만 남아 있습니다. 그러면 문을 안 바꾸어도 1/2의 확률이지 않나요?? 카드가 처음에 1/4 확률에서 10/49로 변하듯이 문을 안 바꾸어도 상품 탈 확률도1/2로 변하지 않나요..?(카드도 새로 뽑은게 아니니...) 갑자기 문제를 보니 다 헷갈립니다..ㅜ.ㅜ
11/02/23 23:43
최강라이온즈 님// 그럼 다시 좀 묻겠습니다. 문을 바꿀 경우 2/3 라고 하셨는데 그럼 안바꿀경우 1/3 이라는 거잖아요.
애초의 확률과 변함 없이.. 카드에서는 1/4의 확률이 10/49으로 변하는데 그건 왜 변하지 않고 1/3그대로 인거죠??
11/02/23 23:52
그냥 간단히 설명 더 드릴게요.
주사위 굴려서 1이 나올 확률은 명확하게 1/6 이죠? 1나올 경우의 수 / 전체 경우의 수로 처음 한장 카드를 숨기고 뒤에 연속해서 다이아 3장이 나올 경우의 수는 13 * 12 * 11 * 49 로 총 84084 가지가 있습니다. 처음 다이아를 숨겼을때 (처음 카드가 다이아일 경우니까) 뒤에 연속해서 다이아 3장이 나올 경우의 수는 13 * 12 * 11 * 10 = 17160 가지가 있습니다. 고로 숨긴 카드가 다이아일 확률은 17160 / 84084 로 10/49 입니다
11/02/23 23:55
글쓰신 분이 하신 실험은 실험 자체에 문제가 있습니다.
애초에 3장이 다이아인 경우에 첫카드가 다이아인 경우만으로 경우의 수를 제한했기 때문이죠. 3장 연속으로 다이아몬드를 뽑은 것을 필연으로 생각하는게 문제의 함정입니다. 3장 연속으로 다이아몬드를 뽑을확률은 처음 뽑은 한장이 다이아몬드가 아닐경우 더 높아지겠지만 연속세장이 다이아몬드로 뽑혔다고 해서 처음에 한장을 뽑을때 다이아몬드로 뽑힐 확률이 줄어드는 것은 아닙니다.
11/02/23 23:58
하아... 저도 지쳐가네요. 한 가지만 생각해보죠.
52장의 카드에서 무작위로 한 장을 빼서 상자에 넣고, 세 장을 뒤집어보자 연속으로 3장의 다이아가 나왔다. 그러면 이 때 남은 48장의 카드 중에 다이아가 9장일 확률은 얼마일까요? 이것도 10/49란 말인가요?
11/02/24 00:02
알고 제거 하는 것과 우연히 하는 것의 차이라...흠...
자꾸 이상한질문만 하는것 같아서 죄송하지만..궁금해서..ㅜ.ㅜ 그럼 예를 들어 100개의 문이 있다고 가정을 하고 하나의 문이 상품을 탈 문입니다. 도전자는 5개의 문을 선택할 수있습니다. 사회자는 어떤 문이 상품탈 문인지 알고 있구요. 그리고 나서 사회자가 남은 문 중 아닌 문을 91개를 열었습니다. 사회자는 4개의 문이 있고 도전자는 5개의 문이 있습니다. 바꾸는게 유리한가요?? 도전자가 상품 탈 확률이 애초에 1/20사회자는 19/20니까 (몬티홀에 따르면..) 아니면 문의 숫자가 달라서 몬티홀과 다른 문제가 되어버리나요??궁금합니다..
11/02/24 00:04
어렵게 생각할 것 없이 짝수와 홀수 단 두장의 카드가 있을 때의 그 두 장중 한 장이 홀수일 확률은 1/2겠죠. 그리고 나서 한장을 봤는데 그 한 장이 짝수였습니다. 그러면 남은 한 장은 당연히 홀수겠지요? 확률이 1/2에서 100%으로 변했습니다. 3장을 뽑아서 다이아라는 것을 확인하는 행위가 확률을 줄여주는 행위(변화시키는 행위) 가 되는 것입니다.
11/02/24 00:04
원 문제입니다.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 조커를 뺀 트럼프 카드 52장중에서 카드 1장을 뽑은 뒤, 어떤 카드인지 확인하지 않고 상자에 넣었다. 그리고 남은 카드를 잘 섞은 다음 3장을 뽑았는데, 3장 다 다이아였다. 이 때, 상자 안의 카드가 다이아일 확률은 얼마인가? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 처음에 뽑은 카드가 확인을 나중에 한다면 굳이 처음에 뽑았다고 할 필요가 있을까요? 간단히 처음에 52장의 카드를 잘 섞은뒤 3장을 뽑았더니 다이아 3장이 나왔다. 그럼 다음에 뽑은 카드가 다이아가 뽑힐 확률은? 이렇게 생각해도 되지 않을까요? 즉, 박스에 넣을 카드를 먼저 뽑는게 아니라 나중에 뽑는다는 것이죠. 이유는, 문제에서 묻는 '이때'라는 것이 다이아 3장을 확인한 뒤이기 때문이지요. 즉 다이아 3장을 확인한 이후에 나머지를 확인하는 거라면 먼저 다이아 3장을 뽑고 난 뒤에 나머지 한장을 더 꺼내서 확인하는 것과 다를 바가 없다고 보기 때문입니다. 아니면 52장의 카드 중 4장을 뽑았다. 4장 중 3장이 다이아라면, 나머지 1장이 다이아가 될 확률은? 이렇게 생각해도 다를 바 없다고 봅니다. 이럴 경우 확률은 10/49가 맞다고 생각해요.
11/02/24 00:04
남자 : 철수 영수 민수 가 있고
여자 : 영희 미희 정희 가 있습니다. 교실로 가서 얼굴은 보지 못하고 오늘 2등으로 온 사람은 누구니? 물으니까 여자 목소리가 "저요" 라고 대답했고 오늘 3등으로 온 사람은 누구니? 물으니까 다른 여자 목소리가 "저요" 라고 대답했습니다. 그럼 오늘 1등으로 온 사람은 남자일까요? 이 문제도 1등으로 온 사람은 이미 1등이니까 뒤에 온 2등 3등의 영향을 안 받으니 50% 라고 말씀하실껀가요? 누가 봐도 명확히 남자 3명이랑 여자 1명 중에 1명이니까 3/4 인데요.. 저 문제도 똑같습니다. 2등 3등 4등이 다이아니까 1등이 다이아일 확률은 1/4 가 아닙니다.
11/02/24 00:09
재석이 명수 준하 형돈이 하하 홍철이 6장 중에 5장있는 악마카드를 뽑으면 벌칙이라고 하고, 1장있는 천사카드를 뽑으면 휴식이라고 하자.
명수가 일단 1장을 뽑고 공개하지 않고 갖고 있는다. 재석이가 뽑았는데 악마카드다. 준하가 뽑았는데 악마카드다. 뒤이어 항돈이가 뽑았는데 악마카드다. 그렇다면 명수가 공개하지 않고 갖고 있는 카드가 악마카드일 확률은 얼마인가? 명수가 뽑았을 당시 명수악마카드일 확률은 5/6입니다. 재석이 뽑았을 때 명수악마카드일 확률은 4/5입니다. 준하가 뽑았을 때 명수악마카드일 확률은 3/4입니다. 항돈이가 뽑았을 때 명수악마확률은 2/3입니다. 즉 문제에서 3명이 연달아 악마카드를 오픈된 시점에서 그 때 명수의 악마카드확률은 애초에 5/6가 아니라 2/3가 되죠. 만약 홍철이도 악마카드 뽑았고, 하하도 악마카드 뽑았다면 명수가 악마카드 확률은 5/6가 아니라 당연히 0%죠 가상이 아닌 진짜로 카드의 조건이 변했으니 확률이 변할 수 밖에 없죠. 이범호가 2할 5푼친다고 하면 1 2 3 타석 모두 못쳤어도 4타석에서 안타 칠 확률은 1/4입니다. 주사위에서 앞에 5번 모두 6이 안 나왔다고 하더라도, 6번째 던졌을 때 6이 나올 확률은 1/6입니다. 이런 경우는 앞에 나온 경우(안타못칠경우랑 6이 또 안나올 확률이) 다음에서 보여질 확률에서 제외되지 않고, 또 등장가능하기 때문입니다. 그러나 카드가 실제로 오픈된 상태에서는 그 경우만큼 진짜로 제외된 것입니다 기존 문제로 치면 다이아가 여러 숫자의 다이아가 있을 텐데 그 중 A K Q 가 나왔다면 (설사 숫자가 안붙어있는 카드라도 3개 만큼의 카드숫자는 확실히 빠지기 때문에) 그 카드는 상자안에서 또 등장할 수 있는 확률이 존재하는 게 아니라 정말로 나올 수가 없는 카드입니다. 따라서 확률이 달라지죠. 즉 차이만큼의 확률이 또 등장 가능 하냐, 가능하지 않냐의 차이입니다. 2할 5푼의 이범호가 1 2 3 타석 안타 못쳤어도 4타석때 또 못치는 경우는 제외되지 않고 또 등장하기 때문에 1/4라는 확률이 변하지 않는 것이고 실제로 오픈된 카드는 상자안에서 절대 나올 수가 없기 때문에, 즉 또 중복되서 상자안 에서도 오픈된 같은 숫자의 다이아가 나올 수가 없기 때문에 확률이 달라지는 것이죠. 즉 1/4로 생각하시는 분들이야 오픈된 카들들도 어차피 뽑을 당시에 그 카드도 포함된 거 아니냐라는 데서 기안한 것이지만 실제로 오픈된 마당에 그 카드는 숨겨진 상자안에서 절대 나올 수가 없는 카드이므로 그 만큼의 확률은 달라지는 것이겠죠. 로또방송에서 숫자를 차례대로 불러줍니다. 5자리까지 연속으로 맞았습니다. 이 때 심장이 떨려서 TV를 껐습니다. 복권 샀을 때랑, 지금 5자리 연속으로 숫자맞추고 TV껐을 때랑 당첨확률은 분명 다르겠죠. 결론적으로 처음 확률은 변하지 않지만, 진짜 조건이 변화하고 나서(진짜로 그 만큼은 다시 존재할수 없고, 완전 제외된 것이기 때문에) 그 후 시점의 확률을 묻는다면 확률은 바뀌는 것이겠죠.
11/02/24 00:12
(틀린 부분도 있었고 적절치 않은 것 같아서 코멘트 수정했습니다.)
철수는 1/6의 확률로 1등할 가능성이 있는 학생입니다. 이번에 시험을 쳤고 2등이 영희였고, 3등이 명자였습니다. 이번 시험에서 철수가 1등할 확률은 얼마일까요?
11/02/24 00:14
뽑는 건 중요하지 않습니다.
카드를 확인하는 게 중요하고 시점의 적용도 확인하는 행위에 적용하면 됩니다. 한 장의 카드를 뽑고 세 장의 카드를 뽑는 게 아니라 세 장의 카드를 보고 한 장의 카드를 보는 거죠. 확인 이외에는 아무 의미가 없습니다.
11/02/24 00:19
이렇게 바꿔보면 어떨까요...?
원래 문제에서 상자에 넣은 뒤 13장을 뽑았는데 13장이 연속으로 다이아몬드가 나왔다면 상자에 있는 카드가 다이아몬드일 확률은? 10/49라고 하시는 분은 당연히 0이라고 하실테지만... 제 생각에는 그래도 마찬가지로 1/4입니다. 나중에 일어난 사건이 먼저 일어난 사건의 확률에 영향을 줄 수 없다고 생각하거든요. 다른 분들은 이 문제에 대해 어떻게 생각하시는지 궁금하네요.
11/02/24 00:24
그냥 10/49 입니다. 처음에 4개중에 하나 뽑는 상황에서 뽑은건데 그 후 상황이 어떻게 되든 당연히 1/4다 라고 생각하시는분들이 있겠지만 사후 추가적인 조건에 의해서 확률이 변할 수 있다는 것을 잘 이해하지 못하시는 것 같습니다.
그렇게 생각하는 가장 큰 요인이 뽑고 나서 무슨 조건이 달리든 내가 뽑아놓은 카드에는 변화가 없다는 사실 때문인데 중요한것은 뽑은 카드는 변화가 없지만, 확률 자체는 변한다는 것입니다. 문제자체는 몬티홀 문제랑 같은 맥락이고 몬티홀을 이해하시면 이문제도 마찬가지로 생각할수 있습니다.
11/02/24 00:27
자신할수는 없지만 '다이아 3장이 나왔을때'라고 하는 문장에서 이미 조건부 확률 문제가 되는 것 아닌가 싶습니다.
다이아 3장이 나온 것이 의도한 것이 아니라 우연히 나온 사건인데 우연히 나온 사건을 조건으로 둔 상황에서 그 이후의 확률을 묻는다면 10/49가 되는게 맞다고 생각합니다.
11/02/24 00:28
유게에도 예를 들었지만..
다이아, 클로버, 스페이드, 하트 이렇게 단 4장의 카드가 있습니다. 이중에 한장을 뽑아 확인하지 않고 상자에 넣었습니다. 사회자가 외칩니다 '이때, 상자안의 카드가 다이아일 확률은?' => 1/4 입니다. 밖에있는 나머지 3장 중에 하나를 뒤집었습니다. 스페이드네요. 사회자가 외칩니다 '이때, 상자안의 카드가 다이아일 확률은?' => 1/3 입니다. 하나를 더 뒤집었습니다. 클로버네요. 사회자가 외칩니다 '이때, 상자안의 카드가 다이아일 확률은?' => 1/2 입니다. 사회자가 묻는 질문은 계속 동일하고, 정보는 처음보다 많아진 이 시점에서 사회자가 말한 '이때, 상자안의 카드가 다이아일 확률은?' 이 질문에 대한 대답은 지금 하트랑 다이아만 남았으니 1. '상자 안이 하트고 밖이 다이아 '이거나 2. '상자 안이 다이아고 밖이 하트' 이 두가지 경우 중에 다이아일 경우가 하나니 1/2이 되는거죠. 1/4이라고 하시는 분은 밖의 두 개의 카드를 확인하고도 1/4이라는 말을 하는데. 그 4경우가 뭔데요?
11/02/24 00:32
블레싱you님 말씀대로 '3장이 우연히 다이아'로 나왔다는 전제 하에는 그냥 조건부 확률입니다.
10/49 가 맞습니다. 하지만 카드를 보여주는 사람이 어느 게 다이아인지 알고 3장을 보여준 거라면 확률이 다르겠지요.
11/02/24 00:39
제가 생각할 때에는 다들 너무 복잡하게 생각하시는게 아닌가 보입니다만..
문제에서 묻고 있는 것은 초기상태에서 뽑아 상자안에 넣어놓은 카드가 다이아몬드일 확률인데, 연속해서 다이아몬드가 10, 11, 12개 나오든 상관없이 처음에 다이아가 뽑힐 확률은 1/4 입니다. 13개 다이아몬드가 나왔을 때는 확률이 0이 되지 않느냐고 하시는 분도 있던데 13개가 뽑히는 순간 0이 되는게 맞고 그 전까진 1/4이 되는게 맞습니다. 왜냐하면, 여기선 단순히 '클로버, 스페이드, 하트, 다이아몬드' 중 다이아몬드가 뽑힐 확률을 물어봤기 때문에 실제로 그 다음에 뽑아보는 행위는 네가지의 가능성을 완전히 없애버리거나 확정하는 순간까지는 전혀 의미가 없는 행위가 되는겁니다. 위에서 메시님께서 악마카드의 예를 들어주셨는데 그건 악마카드냐 아니냐의 문제로 하나의 카드를 뽑을 때마다 악마카드의 숫자 자체가 줄어드는게 확실해집니다. 그러니까 확률이 변하는 것이죠. 그렇지만, 유게의 문제에서는 뽑은 카드가 '다이아'이냐인지만 물어봤습니다. 문제에서 '다이아 A', '다이아 K' 같이 카드가 하나하나 명확히 명시되어 있는 경우라면 10/49가 맞겠습니다만 문제에선 단지 '다이아'인지만 물어보았죠. 그러니까, 우리가 생각해야할 것은 '클로버', '스페이드', '하트', '다이아몬드' 만 생각하면 됩니다. 실제 카드가 몇장 남았고, 조건부 확률이 어떤가 하는 문제가 아닌 '클로버가 나올 가능성', '스페이드가 나올 가능성', '하트가 나올 가능성', '다이아몬드가 나올 가능성' 이 있느냐 없느냐만 따지면 되는거죠. 다이아몬드를 3장 뽑았다고 다이아몬드가 나올 가능성이 없어지는게 아니기 때문에 네가지 가능성 모두 존재하며 이 네가지는 초기 시행시 발생하는 것이므로 모두 동일한 확률을 가지고 있습니다. 그러므로 그냥 1/4이 되는겁니다. 다이아몬드 13장을 뽑으면? 다이아몬드가 나올 가능성이 0이 되는거니까 확률이 0이 되는거고 스페이드 13장을 뽑으면 스페이드가 나올 가능성이 0이 되는거니까 1/3이 되는게 맞겠죠. 몬티홀 이야기도 나오던데, 그것도 정답이냐 아니냐만 따지는 것이기 때문에 이지선다, 즉 지금의 문제와는 다른 케이스입니다. 위에서 언급한 악마카드의 케이스와 동일한 경우라고 생각하시면 될 것 같군요.
11/02/24 00:41
LowTemplar 님 말씀대로 1/4 확률이 성립되려면
1. 3장의 다이아를 누가 보고 뽑앗을경우 2. 질문자가 첫번째 카드를 확인하고 물어볼경우 이두가지 경우 빼고는 10/49 라고 보여집니다.
11/02/24 00:50
1/4 이라고 생각하시는분들은 제발 축소한 모형에서 설명을 해주세요.
심플하게 스페이스 2장 다이아가 2장이 있는 상황에서 하나를 빼서 상자않에 넣어놓고 나머지 한장을 깟는데 다이아가 나왔다. 여기서도 1/4이라고 하시는분들은 상자에서 다이아가 나올 확률이 1/2 인가요? 아무리생각해도 그럴리는 없는데요. 단순화시켜보면 정말 쉬운문제인데 왜.. 여기서 확률이 변하는 이유는 한장을 깟는데 스페이스가 나온 경우를 아예 버렷기 때문입니다. 계산을 안했기 때문이예요
11/02/24 00:55
어찌 설명해야 간단한 설명일지 모르겠는데, 트럼프가 나왔으니 포커게임으로 설명하겠습니다.
포커게임에서 오픈된 카드 중 다이아가 세장이 나왔다면, 먼저받은 카드 중 다이아가 있을 확률은 1/4이라 생각하시나요? 만약 그렇다면 확률로 승부를 보는 프로 포커계에선 지각 변동이 일어날 겁니다. 포커는 게임에서는 자신은 볼 수 없는 상대의 히든카드를, 오픈된 카드와 자신이 본 카드를 제해서 확률로 계산하는 게임입니다. 결국 위 본문에서 말하는 논리를 가지고 진행하는 게임인 것이죠. 하나는 히든, 그리고 내리 세장이 에이스가 깔렸다면, 맨처음 히든에 에이스가 들어갔을 확률은 1/13인가요? 말도 안되죠...
11/02/24 00:56
확률은 시점에 따라 변하는게 정상아닌가요?
불거기버거,데리버거 모르는 상태에서 뽑은게 불고기버거라 먹어버렸다. 남은게 데리버거일 확률은? 1/2 인가?.,,,아무리봐도 정답은 10/49
11/02/24 00:59
위의 악마카드를 가지고 예를 들어볼게요.
내기를 한다고 합시다. 악마카드가 5개 있고 천사카드가 1개 있습니다. 첫번째로 명수가 카드 한장을 뽑습니다. 카드는 뭔지 모릅니다. 두번째로 재석이가 카드를 뽑습니다. 악마카드가 나왔습니다. 세번째로 홍철이가 카드를 뽑습니다. 악마카드가 나왔습니다. 네번째로 길이가 카드를 뽑습니다. 악마카드가 나왔습니다. 다섯번째로 형돈이가 카드를 뽑습니다. 악마카드가 나왔습니다. 여섯번째로 하하가 카드를 뽑습니다. 카드는 뭔지 모릅니다. 확률에 의존했을때 악마카드를 가지고있는 사람에게 돈을 건다면 누구에게 걸겠습니까? 저라면 명수에게 걸겠습니다. 명수가 뽑을당시 확률: 5/6 하하가 뽑을당시 확률: 1/2 이기 때문이죠
11/02/24 01:00
근데 본문에서 하신 실험결과는 그냥 다 무시되는 건가요...?
혹시나 실험수치에 오차가 문제시 되는 거라면 12장 연속으로 다이아몬드가 나온 경우를 가정하면 1/4측 주장은 이때도 1/4일 것이고 10/49측 주장은 이때는 1/40이 될테니까 실험결과가 굉장히 차이가 많이 날 거거든요? 이런 실험에 대해서는 어떻게 생각하시는지요? 덧붙임) 음... 이걸 쓰고나서야 본문을 3번 더 읽었는데요... @_@; 10/49주장쪽이 맞다는 실험결과였군요. 저의 무지를 통탄하며 실험결과를 믿는 쪽으로 옮겨가겠습니다.
11/02/24 01:12
어떤 믿을 수 있는 제안자가 당신에게 52장의 카드를 엎어 놓고 카드를 한장 고르라고 했습니다.
만약 당신이 고른 카드가 다이아였을 경우 당신은 1000억의 상금과 함께 마음에 드는 이성과의 무한 데이트권리(터치 가능, 데이트 상대 교체 가능)를 받게 됩니다. 틀릴 경우 당신의 성기능은 상실 됩니다.(영.원.히.) 당신이 카드를 고른 '후' 제안자는 나머지 51장의 카드 중에서 다이아 3장을 '찾아서' 제거해 버렸습니다. 그리고 당신에게 묻습니다. 당신이 고른 카드를 그냥 오픈 하겠습니까? 아니면 52장의 카드를 다시 섞어서 다시 고르겠습니까? 자! 이제 당신은 어떻게 하겠습니까?
11/02/24 01:13
'불확실한 것'들 갯수가 분모에 들어가야 확률입니다.
52장의 카드중 3장은 확정이네요. 이걸 어떻게 확률구할때 합산해서 생각합니까. 제껴야죠.
11/02/24 01:16
비슷한 문제를 생각해보죠. 회차별 서로 다른 숫자가 나오는 주사위가 4개 있다고 칩시다. 이 시스템은 1번 주사위가 굴려지면 그 값이 서버에 전송되고 2번 주사위는 1번주사위의 값을 제외한 값에서만 나옵니다. 이런식으로 4개가 있다고 치죠.
첫번째 주사위를 잘 가린 상태에서 굴렸습니다. 두번째 주사위를 굴렸더니 1이 나왔습니다. 3번째 주사위를 굴렸을때 2가나왔습니다. 첫번째 주사위가 6일 확률은 얼마일까요? 당연히 1/6이죠. 두번째 세번째 굴린 주사위들의 값이 첫번째 주사위 값에 영향을 받는 것이지 이후에 벌어진 이벤트에 첫번째가 영향을 안받기 때문입니다. 본문의 문제도 이미 한장을 뽑아놓고 3장을 뽑았더니 그렇게 나왔을 뿐이죠(뽑힌 한장은 절대로 뽑히지 않는 주사위 시스템과 같죠)
11/02/24 01:18
애초에 확률이란게 카드 숫자에 따라 linear하게 변해야 하는 값인데 (완벽한 1차함수 꼴이 아니라고 하더라도요.)
왜 12장까지 연속으로 다이아를 뽑으면 1/4로 유지되고 13장을 뽑는 순간 0이라고 하시는지 모르겠습니다.
11/02/24 01:28
주머니 안에 흑돌과 백돌이 있는 데 먼저 하나를 빼고 다음에 남은 하나를 뺐다. 먼저 뽑은 돌이 흑돌일 확률은? 단 나중에 뺀 돌은 백돌이었다.
여기서 혼동되는 건 '이제 와서 그 돌이 흑돌일 확률'과 '그 때 흑돌을 뽑을 수 있었을 확률'입니다. 앞의 카드 8장의 경우에는, 두 장의 카드를 하나씩(사실 동시라고 해도 차이가 없다) 뽑았고 나중에 뺀 카드가 다이아였다. 남은 한 장의 카드가 다이아일 확률은? 1/7 더 이상의 자세한 설명은 생략하겠습니다.
11/02/24 01:32
많은 글들을 읽어보고 잘은 모르겠지만 질문 하나 하고 싶네요.
보통, 확인된 카드 3장을 보고 곧바로 확률에서 제외시키고 있는데, 원래 그게 맞는 겁니까? 이제 확인되었으니, 너희 셋은 빠져라~ 이렇게들 가정하고 계시는 듯 한데... 확인한 3장 카드들은 처음의 52장 범위에서 제외한다 << 이건 답변자들이 확실해져 버린 값이니까 편하게 생각하고 임의대로 확률 범위에서 뺀 거 아닌가요? 문제 어디에도 '그래도 좋다'고 나와 있지 않은 것 같아서요. 그러니까 제 말은 흠... 카드를 확인하면 확인하는 거지, 확인됐다고 해서 그걸 원래 확률 범위에서 빼면 안 되지 않느냐... 뭐 이런 거죠.. 카드 3장 확인해서 그게 다이아든 뭐든 여전히 그것들이 처음의 52장 범위 확률에 계속 포함되어 있어야 맞는 게 아닐까, 허접한 생각이지만 한번 이렇게 질문드리고 싶네요. 사실 제가 말도 안 되는 질문을 하고 있는 것 같습니다;;
11/02/24 01:36
근데 가만히 생각해보니까 모두 시점의 문제라고 하셨는데
카드가 나온 순간 이미 그 카드는 확률이 정해진 걱 아닌가 싶어요.. 다이아가 3개 연달아 나와도 그건 51장의 카드에서 벌어진 일이고 일단 먼저 나온 카드에는 영향이 없는듯...13장 연속 나오면 그냥 먼저 봅은 카드가 3/4의 확률에 걸렸을 뿐인것 같기도 하고.. 먼가 다이아가 3장 나오고 나서 49장일때 뽑는 것과 52장일 때 뽑고 다이아를 3장뒤집은후 섞어서 다시 뽑았을때와 52장일 때 뽑고 나서 다이아를 3장 뒤집은것 ...다른 것 같아요 위에는 결국 뽑을 때 카드가 49장이지만 밑에는 애초에 뽑을때 52장에서 변화가 없고.. 후에 3장이 다이아가 나오든 13장이 다이아가 나오든 다이아가 1/4일 확률에는 변화가 없는것 같아요. 결국 다이아가 13장 다 나오면 다이아가 아닐 3/4의 확률에 걸린 것 뿐아닐까요..?? 아..모르겠다..ㅜ.ㅜ 먼말을 하는지..
11/02/24 01:39
노선을 바꿨음에도(...)
제가 가장 마음에 걸리는 것은 원문에 나와 있는 문구인데요. "옛날 어떤 대학 입시 문제로" "정답이 4분의 1이라는 걸 납득할 수가 없어!" 라는 부분이 마음에 걸립니다. 입시 문제였는데 정답이 틀렸다는 걸까요? 그게 제일 궁금합니다... 물론, 문제 낸 사람이 (입시 문제가 아니었거나 답을 잘못 알았거나 하는 식으로) 잘못 알고 있었을 확률이 있으니 이 내용을 100% 믿을 수 있는 건 아닙니다만 사실 여부가 궁금하네요.
11/02/24 01:57
원래 문제를 좀더 친근하게(?) 바꾸어본다면...
학생수가 40명인 반에서 선생님이 10명의 청소당번을 뽑기 위해 제비뽑기를 했습니다. 30개의 일반제비, 10개의 당첨제비를 만들어 학생들에게 모두 제비를 나눠줬는데 그와중에 학생A가 떠들고 장난쳐서 복도에 나가 손들게 했습니다. 학생A는 제비를 가진채 복도에 나가있는 상태입니다. 선생님은 재미를 위해서 제비를 맘대로 펼쳐보지 못하게 하고 지명하는 학생만 펼쳐보게 했습니다. 교실안에 남아있는 39명의 학생들중 먼저 5명이 제비를 펼쳐봐서 확인했는데 우연히도 모두 당번당첨이었습니다. 이 상황에서 복도에 나가있는 학생A가 청소당번으로 당첨될 확률은? 1/4일까요? 5/35일까요? 추가로 교실안의 학생들중 20명의 제비를 더 펼쳐봤는데 그중에 당첨제비는 4개가 나왔습니다. 여태까지 나온 청소당번 당첨제비는 10개중 9개이며 한개만 남은 상황이네요. 어떤 제비를 가지고있는지 확인 안한 학생은 학생A를 포함해서 15명이네요. 이 상황에서 복도에 나가있는 학생A가 청소당번으로 당첨될 확률은?
11/02/24 02:03
유게에서 문제를 보고왔습니다..
전체 경우의 수가 "연속으로 다이아가 3개나온"이라는 조건을 달고 가는거라 10/49쪽으로 생각됩니다 전체 경우의 수가 다르네요 1/4일경우와 10/49일경우는..
11/02/24 02:07
1/4이든 10/49이든 둘다 답이 될수 있다고 생각합니다.
결국엔 시점이 문제이고, 국어 문제 입니다. "이 때" 의 뜻을 보자면 이렇게 나와있네요.(출처는 네이버 국어사전입니다.) 명사 바로 지금의 때. 또는 바로 앞에서 이야기한 시간상의 어떤 점이나 부분. 기회는 이때다. 바로 이때, 선생님께서 교실로 들어오셨다. 내가 거짓말을 한 것은 이때가 처음이었다. 여기서 보면 "이 때"란 바로 앞에서 이야기한 시간상의 어떤 점이나 부분이라고 나와있습니다. 다시 말해서 1/4을 주장하시는 분은 처음 52장일때 다이아를 뽑을 경우의 수 라고 생각하고 있기 때문일겁니다. 10/49를 주장하시는 분은 확인한 이후의 경우의 수이기 때문에 확률에 변화가 생겼다고 생각하고 있을겁니다. 근데 "이 때" 라는게 현시점 뿐만 아니라 과거의 시점도 나타낼 수 있습니다. 결국엔 관점의 차이입니다. 자신이 "이 때"라는 단어를 어떻게 배워서 어떻게 사용해 왔냐는 습관과 의미 때문에 결국 논란이 되는게 아닐까요??
11/02/24 02:14
1/4이라고 하시는 분들은...
하트 2개, 다이아 1개 총 3개중에 하나 뽑아서 상자 안에 넣고, "상자 안이 다이아일 확률은?"라고 누가 물었습니다. 1/3이죠. ..... 그런 뒤에 나머지 2장 중에 한장을 깠습니다. 하트가 나왔어요. 그러면 상자안에 있는게 다이아거나 밖에 있는 확인 안한 카드가 다이아거나 이 2가지 경우 뿐인데 "상자 안이 다이아일 확률은?" 이라고 물으면 아직 1/3이야 라고 대답하실 겁니까? 지금 밖에있는 2개중 하나가 하트로 확인 되어버려서, 하트냐 다이아냐 둘 중 하나인데요? 하트 10000개 있고 다이아 1개 있는 상황에 똑같이 했습니다. 상자 밖의 나머지 하트 9998개를 확인 시켜 줘도 아직 1/10000 이라고 하실 겁니까? "처음에 만개중에 하나 뽑아서 넣었으니깐, 밖에 하트가 9998개 내 눈으로 확인 되어도 1/10000이고 따라서 다이아일 확률은 희박하다." 이렇게 말씀들 하실 건지.... 답변해보세요. (답변 안달려서 아래로 내립니다.)
11/02/24 02:21
걍 더 쉽게 하면 돼요. 두장으로 하면 젤 간단합니다. 월산명박님 말처럼 한장은 다이아고 한장은 하튼데
한장을 깠더니 다이압니다. 원래 숨겨뒀던게 다이이일 확률이 1/2일까요 0일까요? 극단화해서 생각하면 매우 쉽습니다.
11/02/24 02:23
몬티홀 문제에서도 초기 선택한 확률의 변화는 없습니다. 즉 3개중에 상품이 있을 확률은 1/3이기 때문에 내가 선택한 곳에 상품이 있을 확률은 언제나 1/3입니다. 나머지 두개중에 있을 확률이 2/3이죠. 하지만 사회자가 어떤게 꽝인지 알고서 꽝을 열었을 경우 하나의 가능성이 제로가 되었기 때문에 남은 마지막에 있을 확률이 2/3가 됩니다. 당연히 그것을 선택하는 게 유리하죠.
그런데 사회자가 어떤게 꽝인지 모른채로 열었는데 우연히 꽝이었다면 그것은 다른 선택에 영향을 미치지 않습니다. 그래서 첫번째 것도 1/3의 확률을 그대로 갖고 있고 마지막 것도 1/3의 확률을 그대로 갖고 있는 거죠. 그래서 그때는 바꾸나 안바꾸나 영향이 없는 것입니다. 이 문제도 마찬가지로 초기 선택한 것의 확률은 무조건 1/4입니다. 뒤에 일어난 일들은 뒤의 일들에 대해서만 영향을 미치는 거죠.
11/02/24 02:28
대략 몇시간동안이나 머리를 싸매고.. 리플들을 보며 스스로 생각을 해봤는데... 저의 결론은
10/49네요. 왔다갔다 하다가 1/4로 결정 짓다가 분위기가 급격히 10/49로 변하길래 좀더 논리에 입각해서 보니 10/49가 맞는거 같습니다. 제가 논리적 증거없이 머리가 시켜서 1/4 쪽으로 많이 기울었었는데요. 그리고 실험을 해보면 25퍼센트에 근접할거다 라는 이유를 들어서 1/4로 봤는데, 생각을 좀더 해보니 실험을 할려면 52장카드중 한장을 상자에 넣고 나머지 카드를 임의로 3장뽑았을때 그게 모두 다이아가 나왔는 경우! 그 때가 한번의 실험 데이터가 되겠더라고요. ( 물론 이렇게 하면모두 다이아가 나올 확률조차 작아져서 실제 실험은 못하겠죠? ) 그렇게 반복하면 1/4 이 꼭 나오란 보장을 없을거같아요. 첨엔 52장중에 한장 고르고 그이후에 몇장을 카드를 확인 하든지 말든지 52장중에 한장을 까보자 나는 실험을 해보자고 했었거든요-_-ㅜㅜ
11/02/24 02:30
1. 철수가 어떤 과일을 가지고 있다.
2. 그 다음, 철수에게 사과를 주었다. 3. 그 결과, 철수는 사과와 귤을 가지고 있다. 4. 이 때, 철수가 처음에 가지고 있던 과일이 귤일 확률은? 지금 이 문제랑 똑같은 것 아닌가요? 1/4 진영에서는 '어쩄든 좌우지간, 처음에는 '어떤' 과일일지 몰랐으니까 그게 귤일지는 아무도 모르는 거야!' 인 것 같은데;; '결과가' 철수가 가지고 있는게 사과와 귤이므로 처음에 가진 과일은 무조건 100% 귤인거죠; 윗분 말씀대로 '이 때' 가 1~4의 과정 전부가 일어난 이후가 아닌, 딱 1번 상황만 가리키는 것이라고 주장한다면 이건 말장난이고요;
11/02/24 02:32
아, 그리고 만약 카드 세장을 일부러 ( 투시능력을 가진....마법사가 나타나) 다이아 세개를 골라서 그걸 보여줬다면 아~ 무런 영향을 끼치지 못하겠죠. 하지만 고의가 아닌 엄격한 확률적 계산하에 임의의 세장을 뽑아서 그게 다이아임을 확인 시켜줬으니 이건 뒤의 영향을 받겠네요
그래서 10/49 ! 라 외치고 챔스까지 2시간 더 버텨볼렵니다....
11/02/24 02:35
크크 1/4이라고 생각되는 분은 2장중 1장이 다이아인 경우, 100억장 중 1 장이 다이아인데 2장 빼고 다 까서 다 다른게 나왔을 경우 두가지만 곰곰이 생각해 보시길^^ 저는 여기까지 치고 빠질게요.
11/02/24 02:42
잠이 안와서 리플 하나만 더 답니다. 여기 계신 분들 중에 1/4라고 생각하시는 분은 정독해주세요.
higher templar님//본인이 예로 드신 문제를 가지고도 계속 시간 관계니 인과 관계니 하면서 본질을 흐리고 계시는데, 님이 고등학교에서 배우는 확률을 제대로 이해하지 못하고 계시거나 착각하고 계신 겁니다. 지금 제가 가지고 있는 실력 정석 수1 352페이지에 이런 문제가 있습니다. '필수 예제 23-8 흰 공 9개, 붉은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 한개씩 3회 공을 꺼낼 때(꺼낸 공은 다시 넣지 않기로 한다.) (2) 3회째에 꺼낸 공이 흰 공일 때, 1회째에 꺼낸 공도 흰 공일 확률을 구하여라.' 1/4라 생각하시는 분들은 이 문제도 그냥 답이 3/4라고 생각하십니까? 3회째는 뒤에 일어난 일이니까 앞에 영향을 주지 않는다고 생각하시나요? 1회째에 꺼낼 땐 3/4였겠죠. 하지만 3회째에 꺼낸 공이 흰 색인 걸 확인한 때! 그 때 조건부로 확률이 변합니다. 답은 뭐 고등학교 수학을 열심히 배우신 분들이라면 쉽게 구하시겠죠. 8/11입니다. 유게에 있는 문제도 똑같습니다. 그냥 처음에 아무 카드나 뽑으면 다이아일 확률은 1/4겠죠. 하지만 그 뒤 확인하지 않고 일단 상자에 넣고, 그 다음 연달아 다이아가 3장 뽑혔습니다. 그렇게 다이아가 3장 뽑혔을 때! 그 조건에 한해서 확률은 당연히 변합니다. 애초에 논란이 일어날 필요가 없는 고등학교 문제지에 나올 법한 단순한 조건부 확률 문제입니다.
11/02/24 02:59
최강라이온즈, 싸구려신사, 빈터, Dizzy//
다이아 클로버 하트 스페이드 총 4장. 한장 뽑아서 상자 안에 넣고 사회자는 마법사라서 답을 알고있고 하트랑 클로버를 보여줍니다. 그러면 상자안에 카드가 다이아일 확률은? 이라고 물으면 똑같이 1/4이라구요? 전혀요. 1/2이죠.
11/02/24 03:05
마법사 사회자의 경우 몬티홀의 문제로 환원됩니다. 즉 다른 카드로 변경할 경우 확률이 상승하는 것이죠. 이 떄는 원래 카드는 기존의 확률, 다른 카드는 높은 확률을 가지게 됩니다.
11/02/24 03:09
몬티홀과 달라요..
비비안님 예로, 사회자가 알건 모르건 대답자 입장에서는 남은 카드가 스페이드 2장 다이아 1장이고 1/3입니다. FLY님 말씀이 맞습니다.
11/02/24 03:14
하트 9999장 다이아 1장 있고
이중에 한 장 뽑아서 상자 넣었습니다. 사회자가 나머지 카드 다 확인하고 9998장을 뽑아서 보여주고 (지금 이 확률을 말하고 계신거죠. 상황이 이렇게 나올 확률이 1/10000이죠.) "상자에있는게 다이아게 하트게?" 물어보면 50%의 확률로 대답자는 정답을 맞춥니다. 1/10000인거 같습니까? 해볼래요?
11/02/24 03:20
사회자가 나머지 카드를 다 확인하고 9998장을 뽑아주는 상황은 2가지 입니다.
1. 밖의 카드 나머지 1장이 하트이고 상자가 다이아일 경우 2. 밖의 카드 나머지 1장이 다이아고 상자가 하트일 경우
11/02/24 03:24
문제가 처음 뽑았던 카드가 다이아일 확률을 묻는거였죠? <- 전 이게 제일 헷깔리네요.
맨처음에 뽑아서 다시 집어넣은 카드를 말하는건지 3장을 뽑고나서 남은 상자안의 카드를 말하는건지.. 어쨌든 전자라면 그 카드를 도로 상자안에 넣었으니까 만약 그 카드가 다이아라면 후에 뽑은 3장의 카드안에 들 확률도 있는 거겠죠. 그 카드가 뭔 모양이건 52장을 계속 뽑아낸다면 그 안에 들어있을수 밖에 없으니까요. (여기서.. 대체 왜 문제에 상자속에 남은 카드라고 적은건지.. 이미 밖으로 나온 카드일수도 있는건데 으...) 어쨌든 위에서 계속 말씀하셨던데로 연속으로 13장을 다이아로 뽑는다 처도 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률도 있는 거고요. 다시말해서 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은 나중 뽑은 3장이 다이아 카드라는 단서하고는 전혀 관계없는 얘기라는 거네요. 그렇담 1/4 답 나왔네요.
11/02/24 03:29
이궁... 원본 문제의 답은 10/49로 일단락된거같은데,
괜히 마법사 얘기가 나와서 (위에 제가 정리한답시고 적은 마법사글때문에 이렇게 과열된거 아니죠?ㅜ) 다시또 달아 오르네요....
11/02/24 03:30
1.사회자가 모르고 뒤집어서 9998개의 하트가 나왔습니다.
그 과정을 보여주지 않고 9998개의 하트를 대답자에게 보여주는 상황과 2.사회자가 알고 뒤집어서 9998개의 하트가 나왔습니다. 그 과정을 보여주지 않고 9998개의 하트를 대답자에게 보여주는 상황이랑 다르다는 말입니까?
11/02/24 03:31
근데 이거 실험 간단히 해볼수있지않나요?
9장의 종이에 O 나머지 한장에 X 적어서 일단 내가 임의로 한장을 뽑는다 마법사 ( 실험시에는 가족중 1인)가 내가 뽑은거 이외의 9장의 카드중에 8장을 공개해서 O임을 보여준다 자- 여기서 남은 두개의 종이중에 X가 나올 확률은? 집에 혼자 깨있어서 실험은 못하겠네요.ㅜㅜ
11/02/24 03:35
애초에 랜덤으로 뽑아서 하트가 9998개가 밖에 있을 확률이 낮은겁니다.
이미 밖에 9998개의 하트가 있는 상황이 나온거면 마법사이든 사회자든 그게 중요한게 아닙니다.
11/02/24 03:35
지나가는 바보입니다만
트럼프카드에서 카드 한 장을 빼놓고 나머지 카드 51장을 모두 공개하는 시점에서 다이아12 하트13 스페이드13 클로버13...이 나왔다면 나머지 히든카드는 다이아일 확률이 100%라는 점을 생각해볼때 10/49 에 걸어봅니다. -_-)/
11/02/24 03:46
피아노님은 문제를 잘못 이해하고 있는 것 같네요.
사회자가 마법사라는 건 패를 뒤집어 보지 않고도 무엇인지 알 수 있다는 전제를 하는 것이고요 마법사가 하트를 9998개를 깐다는 건 전혀 실수없이 깐다는 얘기입니다. 우연히 랜덤으로 깐다는 얘기가 아닙니다. 이 전제를 받아들이지 않고 이야기 하시는 것 같습니다.
11/02/24 03:49
이문제 만큼은 대충 알겠네요. 마법사가 끼어서 보여주면 의미가 없어지죠.
10000개중에 응답자가 한개를 고르고 그이후에 남은 9999개 중에 마법사가 9999를 말하지 않는한 확률은 초기상태입니다 (9999개를 보여주면 0%나 100%가 되겠죠) 한개고르고 남은 9999중에는 반드시 9998개의 하트가 있거든요. 임의로 9998개를 펼쳤는데 하트가 나온것이 아니구요
11/02/24 03:53
10/49가 답이라는 것에 한 표 던지구요.
다시 논란이 되고 있는.. 사회자가 투시 능력이 있냐 없냐에 대한 제 의견을 말할께요. 최대한 이해하기 편하시게 글을 쓸 것이고 공감하시는 분은 짧게 공감해주시거나 보충설명 해주시면 되고 아닌 분들은 댓글 달아주시면 좀더 토론해보겠습니다. 하트가 9999장 다이아가 1장 / 총 10000장입니다. 1장이 상자속으로 숨겨졌고 사회자가 남은 9999장 중에서 9998장을 Open 시켰습니다. 그런데 그 9998장이 모두 하트네요. 그런데 여기서 상황이 2가지로 나뉩니다. 1. 사회자가 마법사인 경우(즉 사회자는 투시능력이 있습니다.) 이 땐, 사회자는 상자속으로 들어가는 카드의 무늬도 확인할 수 있구요. 남은 9999장에서 9998장을 항상 하트가 나오게 Open할 수 있습니다. 이 상황은 몬티홀의 상황과 동일한 상황이구요. 9998장이 Open된 시점에서 상자속 카드가 다이아일 확률은 1/10000, 상자밖 남은 카드가 다이아일 확률은 9999/10000이 됩니다. 2. 사회자가 일반인인 경우(사회자는 투시능력이 없습니다.) 일단 인정해야 할 것이 사회자가 9999장에서 9998장을 Open 했는데 모두 하트일 확률이 100%가 아닙니다. 하지만 몇%인지 전혀 고려할 필요가 없죠. 확률이 0.00000000000001%이던 더 낮던 간에 이미 일어난 상황이라고 가정하고 그 후에 확률을 계산해 봐야 하는 것입니다. 이 때는 상자속 카드와 상자밖 남은 한장 카드 각각 1/2의 확률로 다이아가 되는거네요.
11/02/24 03:54
대답자가 사화자가 알고 뒤집었나 모르고 뒤집었나를 알 때에나 1/10000의 확률이죠.
아까 말했듯이. 1.사회자가 모르고 뒤집어서 9998개의 하트가 나왔습니다. 그 과정을 보여주지 않고 9998개의 하트를 대답자에게 보여주는 상황 2.사회자가 알고 뒤집어서 9998개의 하트가 나왔습니다. 그 과정을 보여주지 않고 9998개의 하트를 대답자에게 보여주는 상황 대답자는 사회자가 전부 알고 뒤집었나 모르고 뒤집었나를 모르면 대답자 입장에서 확률은 50%가 맞죠.
11/02/24 03:58
다시 말해서 본문의 문제는 결국 확률을 계산하는 [시점] 은 중요하지 않고 단지 임의로 깠냐 알고 깠냐만이 영향을 미치는 거란 말인지 궁금하군요. 뜬금없이 새벽에 확률공부 하고 있네요 크크
11/02/24 04:13
그렇다면 크크 다시 본문에 있는 문제로 돌아가서. 알고 깠다고 친다면 말이죠. 13장을 까서 다 다이아가 나왔습니다. 그렇다면 12장을 깠을 때까지의 확률은 1/4이고 13장째를 깐 순간 0으로 되어버리는 걸까요?
11/02/24 04:22
이시간까지 참여한 보람이 있네요 하하.
그렇다면 위에서 저를 비롯한 많은 분들이 언급한 '확률을 계산하는 시점' 은 이 문제에서 하등 관련이 없었던 것이었을지요??
11/02/24 04:25
어우~ 저도 pgr 02년도 부터 눈팅위주 + 질게위주 생활했던지라 이렇게 많은 리플을 쓸거라곤 상상도 못했네요.
전 이렇게 하나의 주제로 (되도록이면 수학적, 확률적인 주제로 말이죠 .. ) 논리적으로 댓글 놀이하는게 너무 재밌습니다. 이쪽말도 맞는말 같고 저쪽도 맞는말같고...아.. 박쥐되면 안되는데...ㅜㅜ
11/02/24 04:29
그럼 오늘의 결론은
52장중에 카드 한장을 상자에 넣고 나머지 51장중에 임의로 카드를 세장꺼냈는데 다이아 였을때 상자속카드가 다이아일 확률 = 10/49 임의가 아닌 그냥 다이아 무리중에 세명을 뽑았을때 상자속 카드가 다이아일 확률 = 변함없이 1/4 로 요약이 되는건가요?? 챔스까지 몇십분 남았기에 억지로 댓글 쓰는중입니다 크크크
11/02/24 10:14
댓글 참 많네요. 더 많은 가정이 필요 없이 딱 그때 그 상황만 바라봐야 하는데..
이 글이 조금 염려되는건 타 커뮤니티에서 유식한척 뽐내기 좋아하는 pgr이라고 비꼬는 곳도 있는데 바보 인증 글이라고 할까 염려.. 그건 그거고 2001년 부터 둘러보다 간만에 예전같은 분위기의 댓글(인신공격X, 올바른 토론 분위기)이 있어서 보기 좋았습니다.
11/02/24 10:45
유게에서부터, 지금 자게의 이 글까지.. 오늘 아침부터 커피마시면서 댓글 하나 하나를 전부 정독했습니다.
정말 파이아~하네요. 덕분에 저의 지적호기심도 많이 충족된 것 같아요. 머리가 아주 아파오네요. 정말 이 문제는 어떻게 받아들였느냐에 따라 답이 달라지셨던 것 같습니다. 과거 몬티홀 때도 유게가 대박이었죠.. 아무튼 확률은 정말 재미있으면서도 골아픈 거네요.
11/02/24 11:09
어제 제사 때문에 도망 갔는데....
흰돌5개 검은돌5개를 가지고 도박을 합니다.... 당신과 나 그리고 공정한 주최자.... 주최가 돌10중에 하나를 당신과 내가 모르게 상자에 담고 나머지는 역시 모르게 보자기에 넣습니다 나는 이 때 상자안에 돌의 색깔에 돈을 걸면서 당신에게 제안을 합니다 당신은 지금 말고 보자기안의 돌을 얼마든지 확인한 다음 돈을 걸어라!! 단.... 하나씩 확인해야 하며 흰돌이든 검은돌이든 5개가 확인 되어 버리면 내기가 성립이 안되므로 무효 내가 건 돌색깔과 같은 색깔에 걸면 무효 당신이 유리한 것 같은 기분이 드니까... 같은 돈을 걸었을때 당신이 이기면 내돈의 90퍼센트를 가져 갈수 있다....!! 자.... 당신은 내 제안을 받아 받아 들이겠습니까?
11/02/24 11:15
52장중 한장을 상자에 넣었을때 다이아가 들어갈 확률은 1/4 입니다.
그리고 연속해서 뽑은 3장이 모두 다이아일 확률은 다이이가 상자에 있을때 1/4 * 12/51 * 11/50 * 10/49 다이아가 상자에 없을때 3/4 * 13/51 * 12/50 * 11/49 로 연속해서 다이이가 3장 나올 확률에 영향을 줍니다. 따라서 다이아가 상자에 있을때 3장 연속 다이아를 뽑을 확률 : 다이이가 상자안에 없을때 3장 연속 다이아를 뽑을 확률 = 10 : 39가 됩니다.
11/02/24 11:32
근데... 이거 정답에 어느 정도 권위가 필요할까요?
그저 수학전공 정도로는 설득이 안될것 같기도 하고... 그렇다고 수학과 교수님이 친히 왕림하실것 같지도 않고....
11/02/24 12:04
Dizzy님은 굉장히 무례하시네요. 위의 아우디님이 내신 내기는 논란이 있는 원문제랑은 전혀 다른 명확한 문제에요. 그걸 우기시면서 1/4 노선이라서 이해를 못한다라.... 하 할말이 없네요.
11/02/24 13:24
흠.. 하나하나 확률로 따져보니까 어렵게 보이는거 같아요.
그냥 경우의 수로 따지는게 이해하기 쉽지 않을까 해서 올려봐요 경우의 수를 따져보면, 1. 상자안의 카드가 다이아인 경우의 수 13*12*11*10=17160 2. 상자안의 카드가 다이아가 아닌 경우의 수 39*13*12*11=66924 1과 2의 경우가 뒤에 뽑은 세장이 모두 다이아인 경우의 수입니다. 17160+66924=84084 따라서 뒤의 카드 세장이 다이아였을 경우 상자안의 카드가 다이아가 나올 확률은 17160/84084=10/49가 됩니다.
11/02/24 13:38
저는 이 문제에 관해 아주 명쾌하고도 간단한 해법을 알고 있지만
이제 곧 외출을 해야 하기 때문에 더 이상의 자세한 설명은 생략한다??ㅡㅡ; 아무튼 저도 일생일대의, 목숨을 건 도박을 하라 한다해도 1/4에 겁니다. 나름 확신을 가지고 있는데 혹 나중에 시간이 된다면 그 이유도 올려볼게요.
11/02/24 13:50
dizzy님과 제가 이 게임으로 도박을 하는데
조건은 이거죠. 52장 중 한장을 뽑아서 보지 않고 상자에 넣습니다. 이때 돈을 거는겁니다. 모양이 뭐든간에요. 이때의 확률은 1/4죠. 뭐에 걸든간에 말이죠 예를들어 저는 다이아에 걸고 dizzy님은 스페이드에 걸었다고 해봅시다. 그런데 이제 확인을 하는데, 상자를 까보는게 아니라 남은 카드를 한장씩 까는겁니다. 첫장을 깝니다. 다이아네요? 두번째 장을 깝니다. 또 다이아입니다. 세번째 장을 깠습니다. 또 다이아죠. 그때 저와 dizzy님의 반응은 어떨까요? 저는 처음 확률이 1/4확률로 다이아라고 생각했지만 다이아만 나오니 불안해 질 것이고, dizzy님은 1/4로 스페이드에 걸었는데 다이아만 나오니 오히려 안정적이 되겠죠. 이길 확률이 높아지겠구나 하는!! 하지만 이것은 다이아가 아닐 3/4확률중 하나일 뿐이지 절대 후반에 다이아가 확인되는 사건이 처음 52장중 1장을 뽑는 사건에 관여되는게 아니죠 결국 10/49라고 계속 나오는 이유는 3장을 다이아를 뽑고 난 후에 49장중 임의로 1장 뽑았을때의 확률을 계속 구하고 계시는거고 직관적으로 봤을때 다이아가 3장 연속 나오면 사람이 느끼기에 불안해지는 것은 맞습니다 (몬티홀이 그 대표적인 예라고 보여지네요. 확률과 상관없이 괜히 심리적으로 ㅡㅡ;) 하지만 결국 상자에 들은 카드는 52장중 1장을 뽑은 것이니 1/4일수밖에 없다고 봅니다. 돈을 다이아 3장이 나오고 건다는 것은, 다이아3장 빼고 49장중에 1개를 뽑을때의 예시라고 보고 본문의 조건에서 돈을 걸 타임은 무조건 1장을 뽑고 나서 거는겁니다. 결국 확률의 맹점이라고 보여지네요. 로또에서 3 17 28 33 37 45 가 나온다면 뭐 그러려니 하겠지만 1,2,3,4,5,6 이 나온다면 사람들이 갸우뚱 하는것과 마찬가지처럼요. 실제로는 800몇십만분의1로 똑같은 경우의 수일 뿐이지만요. 국어문제네요. 일생일대의 도박이라면 첫장을 뽑고 나서 거는 겁니다. 본문의 조건으로 맞춘다면요. 물론 다음 카드를 확인하는데 계속 다이아만 나온다면 상대적으로 다이아에 건 제가 불리하게 느끼겠죠. 그 게임은 다이아가 아닐 3/4 확률에 걸릴 게임일 확률이 높아지니까요. 계속 다이아만 나온다면요 결국 그 일본대학의 문제는 어느정도의 낚시로 보이네요. 물론 전 인문계 수준의 수학지식만 있다는 것을 말씀드리며, 저 문제를 푸는데 고등학교 수준의 확률 지식이면 충분하다고 보여져서 댓글을 달았습니다. 그런데 일단 저의 지식문제도 있기 때문에 무조건 이게 답이라고 우기진 않고 계속 피드백중입니다. 댓글보면서요 -_-;; 1/4도 맞는 것 같고 10/49도 맞는것 같긴 한데, 1%정도 1/4가 맞다고 제 가슴이 말하네요
11/02/24 14:17
- 독립시행이 아닙니다.
한정된 무더기에서 임의로 무언가를 선택한 다음 원 무더기로 돌려보내지 않으면 독립시행이 아닙니다. 동전 던지기와 카드 뽑기는 엄연히 다른 카테고리의 문제입니다. - 상자에 카드를 넣자 마자 돈을 거는게 아닙니다. 원 문제에 "이 때"라는 말이 어디 있는지 보아 주시기 바랍니다. 상자에 카드를 넣고, 임의로 3장이 다이아라는 것을 파악한 후에 상자의 카드가 다이아일 확률입니다. 당연히 변합니다. 일단 이 두 가지만 확실히 했으면 합니다.
11/02/24 14:20
Dizzy님의 리플 중에 이런 것이 있습니다.
----- 지금 제가 가지고 있는 실력 정석 수1 352페이지에 이런 문제가 있습니다. '필수 예제 23-8 흰 공 9개, 붉은 공 3개가 들어 있는 주머니에서 한개씩 3회 공을 꺼낼 때(꺼낸 공은 다시 넣지 않기로 한다.) (2) 3회째에 꺼낸 공이 흰 공일 때, 1회째에 꺼낸 공도 흰 공일 확률을 구하여라.' ----- 이 문제의 정답이 과연 9/12=3/4입니까? 처음에 뽑았으니까? 절대로 그렇지 않습니다.
11/02/24 14:46
음 그러면
처음 한장을 뽑아 놓은다음 36장의 카드를 빼서 확인해 봤더니 하트, 스페이드, 크로버가 12장씩 나왔다고 하면 상자안에 있는 카드가 다이아일 확률은 13/16 이 되는건가요?
11/02/24 15:14
댓글을 쭉 살펴봤는데, 역시나 바라보는 관점이 다르니 결론이 나지 않은 것 같습니다.
곰곰히 생각해본 결과 왜 이런 차이가 생겼는지를 알 것 같은데, 이제부터 생각을 정리해서 글을 쓰기 전에 몇가지만 여쭤보도록 하겠습니다. 1) 아우디사라비아님께서 이야기한 내기에서 Dizzy님께선 4개 연속 흑돌이 나오면 백돌에 걸겠다고 하셨는데, 그럼 4개 연속 흑돌이 나온 시점에서 맨처음 뽑은 돌이 백이 나올 확률이 증가한다는 이야기신지요? 2) 한참 위쪽에 1개, 100만개 예를 들어주신 분이 계신데, 스페이드, 클로버, 하트가 1장씩 있고 다이아가 9997장 있는 상태에서 가장 먼저 한장을 뽑아 상자 안에 넣고 9996장을 뽑았는데 모두 다이아였습니다. 그럼 이 상태에서 맨 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은 1/4입니까, 9997/10000 입니까? 3) 전체 경우의 수와 조건부 확률을 구하신 분들께 여쭤봅니다. 조건부 확률을 구할 때는 결과가 정확히 나와있는 상태를 기준으로 잡아야하는 것 아닌가요? 또한, 전체 경우의 수로 확률을 계산하실 때 다이아 3장을 뽑은 시점에서 맨 처음 카드가 다이아일 확률을 구하신게 아니라, '2-4장째 장이 다이아라는 것을 가정할 때 52장을 다 뽑아서 맨 앞장이 다이아였을 확률' 을 구하신게 아니었는지요?
11/02/24 15:19
답이 1/4라고 생각하시는 분들에게 제가 여쭈어 보겠습니다.
아래의 문제를 봐 주시기를 바랍니다. 은혜가 비오는 날에 학교에 지각할 확률은 1/2 이고 비가 오지 않은 날에 지각할 확률은 1/3 이다 평상시 비가 올 확률은 1/4 이라고 한다. 월요일에 은혜가 지각을 했다면 그 날 비가 왔을 확률은? 비는 은혜가 지각을 하던 안하던 상관없이 비는 기후조건에 의해 내리는 것이니까 답이 1/4라고 하실 껍니까~? 평상시 비가 올 확률은 1/4입니다. 그런데 은혜가 지각한 사실을 알고난 후 비가 왔을 확률을 계산하려면 조건부 확률에 의해 1/3이 나오게 됩니다. 마찬가지로 한장의 카드를 상자에 넣었을 당시엔 확률이 1/4입니다. 그러나 3장의 카드를 확인한 후에는 확률이 10/49로 감소하는 겁니다. 이걸 동의 못하시면 여러명의 사람들이 각자 나름대로의 프로그램을 짜서 시행한 결과가 10/49로 수렴하는 현상을 어떻게 설명할 것이며 포커대회에서 포커 최고수들이 게임을 할때 이미 자신이 받을 히든카드까지 다 정해져 있지만 상대 패를 보고 내 히든패의 확률을 예상하는 행위가 아무 부질 없는 행위라고 하시겠습니까? (물론 다른 참가자가 중간에 Die하여 나에게 올 카드 순서가 바뀌는 경우는 제외하고 말입니다.)
11/02/24 16:23
근데 궁금한게
몬티홀문제에서말이죠 주인공이 선택한 칸의 확률은 1/3이고 사회자가 꽝을 하나 건져냈을때 바꾸는게 2/3으로 확률이 올라간다고 하잖아요? 근데 이때 쟁점이 '바꾸는 것이 유리한가 바꾸지 않는것이 유리한가'여서 깜빡 하곤 하는데 사회자가 꽝을 까든 말든 주인공이 선택한 방에 스포츠카가 들어있을 확률은 1/3으로 일정한거 아닙니까? 같은 맥락에서 열세장을 까서 다 다이아몬드가 나오거나 서른아홉장을 까서 다이아가 한장도 안나온 절대적인 상황이 아니라면 1/4일거같은데요..
11/02/24 16:46
이미 다 논의가 끝났는데 뒷북 치는 것 같아서 민망하지만
수학의 힘을 빌리지 않고 직관적으로 10/49이라는 답을 낼 쉬운 설명이 생각났어요. 1/4이라고 하시는 분들은 '상자 안에 넣었다'라는 부분에서 '상자 안에 들어 있는 카드의 확률이 어떻게 변하냐'고 하시면서 마치 마술처럼 생각을 하시는 것 같네요. 문제를 이렇게 바꾸면 훨씬 간단해집니다. 1. 52장의 카드를 전부 바닥에 뒤집어 놓고 한 장의 카드를 옆으로 뺍니다. -> 상자 안에 넣는 게 아닌 단지 옆으로 옮겨 놓을 뿐입니다. 그래도 문제에 영향을 미치지는 않죠. 카드 하나를 '미리' 선택했다는 것은 동일하니까요. 상자에 넣어서 자물쇠로 잠그든 바닥에서 옆으로만 빼 놓든 카드가 스스로 움직이거나 무늬가 변하지는 않습니다. 2. 바닥에 뒤집혀 있는 52장의 카드 중 세 장을 뒤집었는데 다이아가 나왔습니다. -> 원래 문제와 완전히 동일합니다. 3. 아까 옆으로 빼 놓은 카드가 다이아일 확률은? -> 카드를 상자 안에 넣든 바닥에 깔아 놓든 한 장의 카드를 선택했다는 것에서 둘은 완전히 동일합니다. 그리고 바닥에 똑같이 뒤집혀 있는 카드를 옆으로 살짝 옮긴다, 이것 역시 확률에 영향을 미칠 수 없고요. 지금 바닥에 깔려 있는 카드는 49장이고 그 중 다이아는 10장입니다. 그리고 가장 중요한 마지막... 내가 아까 카드의 위치만을 살짝 옮겼던 행동이 확률적으로 무슨 의미가 있을까요? 그렇다면 내가 카드를 상자 안에 넣는 행동은 무슨 의미가 있을까요? 둘 다 물리적으로는 의미가 있을지언정 확률에는 아무 영향을 미치지 못하네요.
11/02/24 17:13
다들 예시 만드신다고 고생이 많으시네요 ㅠㅠ
아직도 1/4 라고 생각하시는 분들은 "사후 확률" 한번 검색해보시는게 더 좋을것 같네요.
11/02/24 17:50
재밌네요. 전 조금 다른 방면에서 이야기를 해 볼께요.
이 문제의 트릭이 어디에 있을까요? 그것은 카드를 미리 선택해 놓는다는 것에 있습니다. 사실 카드를 미리 선택해 놓는 것이 아무런 의미없는 행동입니다. 혼란을 주려고 넣어 놓은 함정인 것이죠. 문제에서 미리 선택했다고 하지만 내용을 보지 않았기 때문에 말이 선택한 것이지 나머지 석장을 까고 난 후에 선택하는 것과 결과적으로 아무것도 다른 게 없습니다. 카드를 1부터 52까지의 번호를 붙였다고 간주하고 설명하자면 처음에 내가 1번카드를 선택했는데 10,20,30 카드를 뒤집었더니 우연히 모두 다이아더라. 그러면 지금 상태에서 1번카드가 다이아일 확률이 2번카드가 다이아일 확률보다 높을까요? 1번이 뭔지 2번이 뭔지는 아무도 모르기 때문에 둘의 확률은 동일합니다. 그렇다면 1번카드를 내가 미리 선택한 것이 별 의미가 없고 석장의 카드를 버린 후에 선택하는 것과 완전히 똑같은 것입니다. 그러면 남아있는 카드는 49장이 되고 그중 남아있는 다이아는 10장이니 다이아일 확률은 모든 카드가 똑같이 10/49이며 이는 미리 선택했던 1번도 예외일 수 없는 거죠. 쓰고보니 이미 많은 분들이 유사한 설명을 해 주셨네요. 괜한 글을 덧붙인 것 같은 느낌이.. ㅡㅡ;
11/02/24 18:14
'대학에서 1/4라 카더라'는 애당초 신뢰하지 못하는 정보입니다. 여기에 휘둘리면 안되는데 여기 댓글이나 유머글의 댓글이나 이걸 언급하시는 분들이 많네요.
문제를 올린 글쓴이가 악의가 있다면, '대학에서 1/4라 카더라'는 밑밥입니다. 이걸로 보는 다수의 사람들이 제대로 된 판단을 하지 못하고 성급한 결론을 냄으로서 옳은 말을 하는 소수의 사람들을 따 시키거나 나중에 그 소수의 사람들이 맞다고 결론나도 '그래서 뭐'란 상황을 만들기 딱 좋은 패턴이죠. 혹은 스2갤에서 종종 Playxp에서 실언이나 오답을 이야기하는 경우를 캡쳐해 Playxp는 공고사이트라는 식의 누명을 씌우는 것과 같이 놀 수도 있겠군요. 글쓴이가 위와 같은 악의가 없이 단순히 다른 사람에 의해 전해들었거나 잘못 들은걸 적었을 경우도 있습니다만 전자든 후자든 '대학에서 1/4라 카더라'는 그 출처가 명시되지 않은 이상 죽은 데이타일 뿐입니다.
11/02/24 18:16
무슨프로그램인지 모르겠는데 연예인들이 동물탈 쓰고 나와서 그중 김현철을 찾아라 이런 프로그램이 있던데요..
누가 난 닥치고 토끼다 하고 골랐습니다. 동물이 8 이면 확률은 1/8 이겠죠. 그다음에 동물들이 이것저것 하다보니 다섯명이 탈이 벗겨졌습니다. 김현철이 아니었구요. 그럼 토끼가 김현철일 확률은 1/3 입니까? 1/8 입니까? 지금 10/49 를 부정하시는 분들은 먼저 골랐으니 여전히 1/8 이라고 주장하시는 겁니다.
11/02/24 18:36
이미 골랐으니 확률이 변할수 없다에 반대되는 예제를 생각해 봤는데요..
시험을 봤는데 모르는 문제가 나와서 1번으로 찍었습니다. 4지선다라면 제가 답을 맞췄을 확률은 1/4이겠죠. 그리고 시험지를 제출했습니다. 이제 1번으로 찍은 사실은 변할수가 없습니다. 시험이 끝난후 친구끼리 답을 맞춰봅니다. 어려운 문제라 다들 뭐가 정답인지 모르겠대요. 근데 교과서를 확인해보니 4번은 확실히 답이 아닙니다. 이제 제가 답을 맞췄을 확률은 얼마인가요? 시험지를 제출해서 1번으로 찍은 사실은 변할수가 없습니다만.. 현재 4번이 답이 아니라는게 확실해 졌으므로.. 1번을 찍은 제가 답을 맞췄을 확률은 1/3로 높아졌겠죠. "1번으로 답을 찍은 사실"은 변할수가 없지만 정보가 많아지면 "제가 답을 맞췄을 확률"은 변할수 있잖아요.
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