** 글을 간략하게 적기 위해서 단정적인 서술을 했습니다.
     혹 생각과 달라 보기 불편하시더라도 '이게 사실이다' 라는게 아닌 이 문제에 대한 제 생각을 서술한 것이니 그렇게 이해해주시면 고맙겠습니다.
     또한, 댓글로 붙이려다가 글이 너무 길어졌고 반대쪽 의견도 하나의 주제로 남기는게 좋을 것 같아 새로 글을 적습니다만,
     많은 분들이 댓글화를 원하신다면 바로 댓글로 내리도록 하겠습니다.




원문의 문제에서 묻고 있는 것은 다이아 3장이 연속으로 뽑힌 상태까지만 서술하고
맨 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률을 물어본 것이지, 그 다음 시행에 대해서는 아무런 언급이 없습니다.

제가 이 문제를 볼 때 중요한 점은 이 '시점'이라고 생각합니다.


Dizzy님께서 언급하신 정석의 조건부 확률은 6개의 공을 한개씩 끝까지 뽑는다는 것을 전제로 하고 있습니다.
그러니까, 일단 6개의 공을 전부 뽑는 경우의 수가 발생하겠고
이 중에 세번째 공이 흰 색인 경우등으로 제한해서 다시 조건부 확률을 계산해볼 수 있겠죠.

하지만, 이 문제의 경우는 다릅니다.
카드는 네장만 뽑았을 뿐이며, 우리가 계산해야할 것은 그 시점에서 맨 앞장이 나올 확률입니다.

'어차피 경우의 수는 한정되어 있어서 그 이후에 있을 경우의 수는 모두 계산해볼 수 있는데?'
라고 하실 분이 계실테고 이렇게 생각하셔서 컴퓨터로 계산해보신 분들도 계신 것 같은데,
제가 생각할 때에는 네장을 뽑은 이후의 경우의 수는 이번 계산에서 전혀 의미가 없습니다.

지금 10/49라고 이야기하시는 분들은 모두
'앞으로 52장이 모두 뽑힐 것이며 이런 가능성들 중에서 맨 앞장이 나올 부분이 이정도니까' 라고 이야기하시지만
우리가 52장을 모두 뽑아서 나열하는 경우를 이 문제에서 전체 경우의 수로 봐야되는 이유가 있을까요?

카드를 뽑는 것은 지금 하고 있는 중인데 말이죠.




간단히 예를 두가지 들어보죠.


검은돌 두개와 흰돌 두개가 있습니다. 여기서 돌 한개를 미리 빼놓고 다음에 돌을 빼보았더니 검은돌이 나왔습니다.
그럼 이 시점에서, 맨앞의 돌이 검은돌일 확률이 1/3일까요, 1/2일까요.

앞선 댓글에서 10/49라고 이야기하신 분들은 1/3라고 하셨고, 저같은 경우는 여전히 1/2이라고 이야기드렸습니다.

왜 1/3일까요. 네개를 모두 다 빼낸 상태에서 두번째가 검은돌이 나왔을 경우를 정리해보면
검검흰흰, 흰검검흰, 흰검흰검, 이렇게 세가지가 나오고 이 중 맨 앞이 검은돌인 경우가 한 경우뿐입니다.

앞으로의 일을 예상해봤더니 세가지 경우가 있고, 그 중 한가지 경우에만 맨 앞의 돌이 검은돌이 나온다.
그래서 1/3. 그럴까요?

위에서 확률을 물어보는 것은 '돌을 두개 뽑은 시점' 입니다.
그 다음에 흰돌, 검은돌이 1/3, 2/3의 확률로 나올 것이라는 것은 알고 있지만
실제로 다음 시행에서 어떤 돌이 나오는지에 대해서는 전혀 알 수 없습니다.
돌을 미리 빼서 나열했다면? 1/3이 맞을겁니다. 돌은 이미 놓여졌고 우리는 확인만 하면 되는 것이니까요.

그렇지만, 이경우엔 돌을 계속 뽑아야하는 상황입니다.
검은돌이 뽑힐 확률이 1/3, 하지만 이건 뽑힐 확률일 뿐이지 실제 시행에선 검은돌 또는 흰돌이 실제로 '뽑힙니다'.

세번째 시행에서 검은돌이 뽑혔다면? 이건 두번째 시행 시점에서의 판단과는 전혀 상관없는 일입니다.
설사 두번째 시행시점에서 다음에 검은돌이 뽑힐 확률이 백만분의 일에 불과하더라도 세번째 시행에 발생했다면 그건 확률 1을 가지게 되는 것입니다.
두번째에서 백만분의 일의 확률을 가지고 있으니까 미리 그만큼의 비중을 가지고 예측해서 계산하는 것이 아니라
세번째 시행은 하나의 '사실'이기 때문에 그 시행이 이루어지고 난 뒤에 다시 판단해야된다는 것이죠.

그리고 중요한 것 한가지. 두번째 시행 시점에서 앞으로 벌어질 일에 대한 확률이 첫번째 시행에서 검은돌이 뽑힐 확률에 영향을 주나요?
아닙니다. 뒤에 뽑힐 돌이 어떤 것이던지 간에 일단 첫 시행에서는 흰돌, 검은돌이 두개씩 있었기 때문에 확률은 1/2이 됩니다.
단지 흰돌, 흰돌이 뽑혀서 다음 시행에서 맨앞의 돌이 검은돌임을 정확히 확인할 확률이 1/3일 뿐이지,
이게 두번째 시행 시점에서 맨앞의 돌이 검은돌일 확률과 동일한 것은 아닙니다.




아랫글에서 질문드렸던 예입니다.

스페이드, 클로버, 하트가 1장씩 있고 다이아가 9997장 있는 상태에서
가장 먼저 한장을 뽑아 상자 안에 넣고 9996장을 뽑았는데 모두 다이아였습니다.

그럼 이 상태에서 맨 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은 1/4일까요, 9997/10000 일까요.

임의로 뽑느냐, 아니냐는 중요한 것이 아니며, 임의로 뽑았을 때 9996개 다이아가 연속으로 나오는 것의 확률을 따지는 것도 무의미합니다.
앞서 이야기드린 것처럼 9996장이 뽑힌 상황은 '이미 벌어진 상황' 이니까요.
단순한 '정보'일 뿐이지, 그게 극히 벌어지기 힘든 일이라고 맨 앞의 시행의 확률에 영향을 주는 것은 아닙니다.

다시 경우의 수를 따져볼까요?
다이아*3!과 4*3!, 따지고 말고 할 것 없이 1/4가 나옵니다.
그럼 맨 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은 지금 시점에서 1/4일까요?

아닙니다. 9996장을 뽑은 시점에서 뽑은 사람이 알 수 있는 것은
'스페이드, 클로버, 하트, 다이아가 1장씩 남았다' 라는 것 말고는 아무 것도 없습니다.
다음에 뽑을 세장의 배열이 어떻게 되며, 각 경우 확률이 어떻게 되는지 계산해볼 수는 있을겁니다.
하지만, 그게 무슨 소용이 있습니까? 아직 일어나지도 않은 일이고, 시행한다면 확률은 0 아니면 1로 결정되어버릴텐데요.

지금 시점에서 판단할 때 맨 앞장이 다이아가 아닐 가능성을 배제할 수 없었기 때문에
우리는 초기상태에 대한 어떠한 추가정보도 얻을 수 없었고, 때문에 맨 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은 9997/10000 가 되는 것입니다.


결국 '만장을 임의로 다 뽑았다'는 전제하에서 그 중 맨 앞장에 다이아가 있을 확률이 1/4이지,
9997장을 뽑은 상황에서만 보면 이 확률이 제대로 작동하지 않습니다.



Dizzy님께서 아우디사라비아님께서 적으신 내기에서 4개 연속 흑돌이 나오면 백돌에 걸으시겠다고 하셨죠.
맨처음 빼냈을 때의 확률은 당연히 50%, 그런데 네개만 돌을 확인해본 것 뿐입니다.
네개의 돌을 뽑아본 것은 그때의 특정한 상황일 뿐, 그게 백만분의 일로 일어나기 어려운 상황일지라도 이미 일어난 일이니
그 확률이 우리가 계산하려는 확률에 영향을 주진 않습니다.

그러니까 맨앞의 돌이 흑돌이라면, 백백백백백 이 나올 것이 확정되어 있을 것이고
백돌이라면 흑백백백백, 백흑백백백.. 중 하나가 뽑히게 될 것입니다.
이건 시행하면서 확인해야할 것일 뿐이지, 우리가 계산해야할 확률이 아닙니다.

쉽게 이야기해볼까요? 조건부확률은 10개가 다 나온 상태에서의 결과를 가지고 확률을 계산합니다.
하지만, 아직 10개의 결과가 확정된 상황도 아니며, 10개를 다 뽑았을 때에도 실제 현실은 그냥 특정배열 한가지일 뿐입니다.
그건 경우의 수가 1개지, ~했다면 하면서 가정할 수 있는 사항이 아닙니다.

그러니까 저 시점에선 Dizzy님께서 유리하다고 생각하시겠지만 실제 확률은 50:50 이란 겁니다.





확률은 (경우의 수)/(전체 경우의 수)가 맞습니다.

하지만, 이 경우 전체 경우의 수가 52장의 카드배열 중 2-4번째 장이 다이아가 나온 부분이 아닙니다.그건 단지 카드배열일 뿐입니다.
그중에선 13장의 다이아가 일찍부터 나오거나 다른 카드들이 먼저 다 나와버리는 등
맨 앞장이 다이아인지 아닌지를 확인해볼 수 있는 경우가 수많이 있겠죠.

그런데 이게 네번째 시행을 마친 시점의 사람에게 무슨 의미가 있습니까?
맨 앞장이 다이아가 되는 배열이 있습니다. 그리고 그렇게 나올 확률이 있겠죠.
그런데, 그건 52장이 이미 뽑혀져 있는 상황에서야 의미있는 것이지,
뽑는 과정도 함께 있는 상황에서는 어차피 뽑는 과정에서 확률과 관계없이 배열들이 결정되어 버리기 때문에 전혀 의미없는 것이 되어버립니다.

전체 경우의 수는 앞으로 일어날 상황에 대한 예측을 가능하게 해줄지 모르지만,
이미 일어난 일에 대한 예측을 하게 해주지는 못합니다.
이미 일어난 일에 대한 예측을 하게 해주는 것은 0 or 1, yes or no, 그 일이 확실히 일어났느냐, 아니냐를 확인시켜줄 수 있는 정보 뿐이죠.

최강라이온즈님께서 주사위 이야기를 하셨는데, 그 이야기는 맞습니다.

시행중에 3대신 2를 붙여놨다는 사실을 알게되면 그 자체로 3의 시행 가능성이 0이 되기 때문에
(1/6, 2/6, 0, 1/6, 1/6, 1/6) 이 되는게 맞지요.

그렇지만, 3대신 2를 붙여놓은 것과 다이아 3장을 연속으로 뽑은 것은 다릅니다.
다이아 13장이 나와서 다이아가 나올 가능성이 완전히 없어져야만 3대신 2를 붙여놓은 상황과 동일하게 되며
그 때서야 맨 처음 시행의 확률에 영향을 주게 된다는 말이지요.
이처럼 이미 일어난 일에 대한 확률은 중간 시점에선 시행들의 가능성이 0 아니면 1 이어야만 바뀔 수 있습니다.


몬티홀, 포커, 볼 뽑기, 악마카드, 10/49라고 이야기하시는 많은 분들이 이야기하시는 예들은
경우의 수를 모두 끝까지 전개했을 때의 예들입니다.

몬티홀은 이미 상품의 배치가 완료되었고, 포커도 패를 뒤집지만 않았을 뿐 패가 이미 다 나눠진 상태죠.
그러니까 모든 시행이 다 이루어진 상태고 그걸 확인만 하면 될 뿐이기 때문에
이 경우엔 경우의 수를 계산해서 확률을 구할 수 있습니다.

하지만, 카드를 뽑다가 만 상황이라면 이야기가 다릅니다.
우리는 카드를 전부 뽑았을 때의 순서가 어떻게 될지, 그 경우의 수가 얼마나 되는지를 알 수는 있지만
그건 모든 경우의 수가 동일한 확률을 가지고 있다는 전제에서만 가능한 이야기입니다.

지금 카드를 뽑고 있는 순간에는 카드를 하나하나 뽑는 행위자체가 하나의 확정적인 시행이 되어버립니다.
그리고 52장을 다 뽑게 되는 순간, 그 순서는 전체 중의 한 가지 경우의 수에 속하게 되겠죠.
하지만, 단지 그것 뿐입니다. 그건 52장을 다 뽑았을 때 이야기지, 지금 4장만 뽑았을 때 우리가 생각해야할 문제가 아닙니다.




다시 이야기드리지만 사후확률, 조건부 확률,
둘 다 모두 결과가 완벽하게 나온 것을 전제로 그 결과를 바탕으로 확률을 계산하는 것입니다.

그러니까 이 문제에서 동일하게 적용을 하려면 카드를 전부 일렬로 나열해놓고 앞에서부터 하나씩 차례로 뽑아나가는 경우를 생각해야겠죠.
그게 아니라 시행을 하다 중단했을 경우이니 이런 경우의 수들이 아무런 의미를 가지지 못한다는 겁니다.

시행하는 도중일 경우에 앞서 일어난 사건의 확률이 바뀔 수 있는 건 위에서 언급한 것처럼
'지금까지 얻은 정보로 일어날 가능성을 완전히 배제할 수 있을 때' 뿐이라고 생각합니다.





결론을 이야기드리자면, 10/49 라고 주장하시는 분들이 이야기하는 확률의 정의 자체가 전 틀렸다고 생각하며
이 문제에서의 전체 경우의 수는 '첫 시행시 뽑힐 수 있는 카드 수' 이고,
경우의 수는 '다이아를 뽑는 카드 수' 입니다.
우리가 현재 상태에서 확인할 수 있는 정보는 초기 시행시 상태가 어떠하냐.. 뿐이니까요.
그래서 1/4 이라고 하고, 다이아 13장이 연속으로 나왔다면 확률이 0이 된다고 이야기드리는 것입니다.

덧붙여 제가 '다이아 A'등으로 한정짓는 경우 10/49가 된다는 것은
결국 이렇게 되면 한장 한장이 각기 다른 카드가 되는 셈이므로
한장을 뽑을 때마다 '첫 시행시 뽑힐 수 있는 카드 수' 자체가 줄어들게 됩니다.
그러니까 해당 시점에서 계산해도 맨 앞장이 2-4번째 뽑은 다른 세장의 카드가 아니라는게 확실해지므로 확률이 달라지게 된다는 것이죠.

마찬가지로 1~10까지 카드라던지, 동물 8개라던지 하는 것도 마찬가지로 다른 것들이 뽑힐 가능성이
하나씩 뽑을 때마다 없어지기 때문에 동일하게 적용할 수 있습니다.






제가 해석한 것이 반드시 맞다고 생각하는 것은 아닙니다.
(논지를 전개하는데 오류가 있을 수도 있겠고.. -_-;)

저 문제를 카드를 끝까지 뽑는다고 해석해서 문제풀이를 한다면, 또는 일렬로 나열해서 하나씩 뽑아나간다고 생각하면 10/49가 맞습니다.

하지만 문제에서 다시 섞었다고 했고 별다른 언급없이 세장만 뽑았다는 말만 가지고는
저 상태에서 우리가 확인할 수 있는 정보만을 가지고 판단하는 확률을 이야기하는 것이라고 보고
제가 이해할 때 문제에서 요구하는 확률은 '다이아를 뽑는 카드 수'/'첫 시행시 뽑힐 수 있는 카드 수' 라고 본다는 것입니다.

댓글을 쭉 봤지만 10/49라고 이야기하시는 분들 중 이런 식으로 문제를 접근하신 분이 없고
모두 이미 시행이 완료된 상황이라는 것을 가정하고 이야기하시길래 의견을 듣고자 글을 적어봤습니다.
이부분에 대한 이야기를 해주시면 좋겠네요.





ps. 저녁 먹으러 나가야되서 이따 댓글 확인하겠습니다. 답이 없더라도 너무 답답해하지 마세요.. ^^;