1.
142857 X 1 = 142857
142857 X 2 = 285714
142857 X 3 = 428571
142857 X 4 = 571428
142857 X 5 = 714285
142857 X 6 = 857142

입니다. 신기하시죠?;;

1->4->2->8->5->7->1...이 그 순서를 지키고 있는데 시작하는 숫자만 다릅니다.

588235294117647 X 15는
  8823529411764705 입니다.;;




2.
순환소수는 그 순환마디를 다르게 놨을때(단 순서는 같게) 분자가 달라진 어떤 값의 순환소수가 됩니다.
1/13은 0.[076923] 입니다. 대괄호를 순환 표시라고 봐주세요..텍스트로 표현하기 힘드네요.
그렇다면 0.[692307]  의 경우도 분모가 13인 어떤 값의 순환소수입니다..
9/13의 순환 소수입니다.  실제 계산을 해보아도 그렇구요..
7X3은 21이기에 10-1은 9 이기 때문에 9/13이기도 합니다. (이에 대한 설명은 맨 아래에 써놓았습니다.)





3.
1/7은 0.[142857] 입니다.
다행히 1/7~6/7은 여섯개. 순환 마디도 6개 입니다. 딱 맞아 떨어지겠네요
1,4,2,8,5,7 두번째로 작은수는 2입니다
0.[285714] 가 2/7의 순환소수입니다. 왜냐하면 시작하는 숫자가 적을수록 분자가 적기 때문입니다. (실제 분자가 클수록 수가 크니까요)
세번째로 작은수는 4입니다
0.[428571] 은 3/7이 되겠네요..
이런식으로 4/7=0.[571428], 5/7=0.[714285], 6/7=0.[857142] 가 되게 됩니다.


이것을 곱셉으로 응용하면 1번과 같은 결과가 나오지요.
1/7  X  2는 2/7이고
고로 0.[142857] X 2=0.[285714]이며
그렇기에 0.142857   X 2 역시 0.285714이므로
1번처럼 되겠지요





4.
그래서 순환마디는 분모보다 길 수 없습니다.















2-1.
이부분은 좀더 설명이 필요한데 너무 복잡해져서 제가 간략하게 썼는데
추가 설명을 바라신다기에 써봅니다 약간 길어지고 수식을 쓸수없는 텍스트로 설명이 가능할지 모르겠습니다..
오히려 읽는분들의 전의를 사라지게 만들까봐 일부로 뺀내용입니다.
0.076923에 13을 곱하면 그 결과는 0.999999이 됩니다.
순환소수는 0.9999999999999999999999999999999999999999를 1로 봐주고 나온 개념입니다..
그래서 저 수를 곱하면 그냥 0.999999이 됩니다..
그럼 0.230769에 13을 곱하면 어떻게 될까요..
2.999997 이 나옵니다..
왜 2.999999가 아닌 2.999997이 나오냐면..
앞에 2가 있기 때문이죠.
마지막 자리수7이 뒷자리에서 올라와서 더해져 9로만드는 다음수가 있습니다. 그건 물론 2겠죠..
그렇기때문에 7로 끝나는겁니다.
순환소수가 시작을 바꾸어도 누군가의 순환소수가 되는 이유도 이러하기 때문입니다.
이 순서대로라면 어떻게 곱해도 99999999999행렬이 나오게 되어있습니다.
0.[230769]X13도 결국 2.99999999999999999999999999999999999 가 되겠지요..
그래서 0.[230769]=3/13 입니다.


똑같이 0.[692307]=9/13입니다
왜냐하면 7X3은 21이기 때문이지요. 마지막 숫자가 1인데 뒤에서 올려줘서 9를 만드려면 8이올라와야 합니다.
8이 뒤에서올라왔다면 맨앞에도 올라가겠죠..
고로
0.[692307]X13= 8.99999999999999999999999999999 가 되겠죠

그래서 9/13입니다

이걸 편의상 10-1=9 라고 생각해도 좋습니다. 물론 19일수도 있으나 19는 13분모보다 작죠.
위의 0.[230769] 로 돌아가보면
9X3=27 이므로 10-7=3
따라서 3/13이 맞습니다.






2-2
1/7=0.[142857] 인데
0부터 9까지중 여기에 나오지 않는 0,3,6,9 의 숫자들이
7을 곱했을때 일의 자리수가 더 작은 수들입니다.(0,21,42,63 으로 0,1,2,3이죠)
위의 이유와 무관하지 않습니다.