함수, 점화식 그리고 미분 방정식


1.

함수는 직관적으로 이해 가능한 수학의 몇 안 되는 개념 중 하나입니다. 많은 분들이 쉽게 받아 들이시고, 또 익숙히 사용하고 계시므로 함수가 무엇인가에 대한 설명은 생략하겠습니다. 단지 함수를 표현하는 방식에 대하여 이야기 해보겠습니다. 가장 일반적인 표현방식은 ‘x가 들어가면 y가 나온다’를 직접적으로 나타내주는 y=f(x)입니다. 수학 용어로 양함수적(Explicit) 표현이라고 합니다. 그러나 이런 표현 방식은 모든 함수를 표현하는데 불편함이 따릅니다. 그래서 f(x,y)=0과 같은 표현도 사용됩니다. 수학 용어로는 음함수적(Implicit) 표현이라고 합니다. 어떤 함수든 양함수적으로 y=2x라고 써도 되고 음함수적으로 y-2x=0이라고 써도 됩니다. 그러나 아무래도 y에 관한 자승이라든가 제곱, 로그 같은 함수가 쓰인 경우에는 음함수적인 표현이 더 편하겠지요. 매개변수(Parameter)를 이용한 표현 방법도 있습니다. t라는 매개변수를 이용하여 y=2t, x=t라고 표현해도 됩니다. 왜 이렇게 복잡하게 표현해야 하는지는 논지와 약간 동떨어진 이야기이므로 이만 줄이겠습니다. 하지만 이 글을 읽을 정도로 수학에 관심 있으신 분들은 익히 아실 거라 생각됩니다.


2.

그런데 ‘특수한 경우’에 한해서 표현 방법이 한 가지가 더 있습니다. 점화식입니다. ‘특수한 경우’란 함수의 정의역(X의 집합)이 자연수인 경우입니다. 즉, 수열을 말합니다. 수열의 수학적인 정의는 한 글자도 안 틀리고 ‘정의역이 자연수인 함수'입니다. 수열은 이산 함수입니다. 이산 함수는 앞(a(n))에 값을 이용하여 다음 값(a(n+1))을 표현 할 수 있습니다. 물론 앞앞값이니 뒤뒤값 등을 포함한 여러 복잡한 점화식이 존재하지만 주변과의 ‘관계’를 표현한다는 본질에는 변함이 없습니다. 여기서는 일단 a(n)과 a(n+1)로 이루어진 점화식 만을 생각하기로 합니다. 점화식을 풀기 위해 필요한 것은 단 하나뿐입니다. 초기값(a(0))입니다.


3.

자연계에서 어떤 물리량의 분포를 함수로 나타낸다고 생각해봅시다. 우리 집 안의 온도 분포에 대하여 생각해보겠습니다. 공학에서는 관찰하려고 하는 대상을 일부분으로 한정시켜 계(System)라고 부릅니다. 우리 집을 관찰하고자 하였으므로 우리 집이 계가 됩니다. 시간에 따라, 또한 집 안 위치에 따라 온도가 각기 다 다르므로 온도 T는 시간과 공간의 함수로 나타내어 집니다(T=f(x,y,z,t)). 게다가 집안의 온도 분포를 결정짓는 여러 요인들, 엄청나게 많겠지만 문제를 간단히 하기 위해 바깥 기온(T_out)만을 택해보겠습니다. 그러면 집안 내 온도는 T=f(x,y,z,t,T_out)와 같이 나타낼 수 있습니다. 그러나 눈치 채셨겠지만 아무리 시스템에 많은 가정을 도입해서 간단화 시킨다고 하더라도 집안 내 온도 분포가 저렇게 간단히 함수로 나타낼 수 있다면 저를 포함한 공돌이 대다수는 굶어야 할 것입니다^^; 결론부터 말하자면, 집안 내 온도 분포 T는 ‘x,y,z,t,T_out의 함수’ 같은 간단한 형태가 아니라 미분방정식을 풀어 구해집니다. 그 미분 방정식은 1차 미분방정식일수도 2차 미분방정식일수도 있고 상미분방정식일수도 편미분방정식일 수도 있습니다. 또한, 선형미분방정식 일수도 비선형미분방정식 일수도 있습니다. 가끔은 연립미분방정식 형태로 나타내어 질 때도 있습니다. 다 합쳐서 “비선형 2차 연립 편미분방정식”(Nonlinear 2nd Order Partial Differential Simultaneous Equation)으로 표현될 수도 있는 겁니다. 물론, 많은 미분방정식 책에 꼬리표처럼 따라붙는 With Initial/Boundary Value Problem, 즉 초기값/경계값을 빠뜨려선 안됩니다. 이 말은 미분방정식을 풀기 위해서는 초기값 혹은 경계값, 혹은 둘 다가 꼭 필요 하다는 말입니다. 점화식을 풀기 위해 초기값(a(0))이 필요한 이유와 정확히 같은 이유지만 왠지 어렵게 들립니다. 지금부터 그 이유를 설명해 보겠습니다. 물론 저 위에 나열한 용어들도 최대한 쉽게 설명해 보겠습니다.


4.

공학자들은 자연계에서 일어나는 일들을 모사하기 위해 컴퓨터를 이용합니다.  그냥 쉽게, 아까 우리 집안의 온도 분포를 계산하기 위해 컴퓨터를 사용한다고 생각해봅시다. 컴퓨터는 이산화 된 변수밖에 다룰 수 없는 디지털 기기이므로 공학자들은 연속적인 공간과 시간을 컴퓨터가 알아먹을 수 있게 쪼갭니다. 설명을 더 간단히 하기 위해서 시간에 대한 온도의 변화는 없다고 가정하고 z축도 없애겠습니다. x축으로 10개 y축으로 10개 등 간격으로 쪼개면 100개의 포인트에서의 온도를 T(1,1), T(1,2),~~~, T(10,10)과 같이 나타낼 수 있습니다. 어떤 한 지점의 온도는 주변 온도와 관계가 있습니다. 즉, 어떤 한 지점의 온도와 주변 온도는 점화식으로 표현될 수 있습니다. 가령, T(m,n)는 둘러싸고 있는 4지점의 온도의 산술 평균이라면  T(m,n)={T(m+1,n)+T(m-1,n)+T(m.n+1)+T(m,n-1)}/4 이런 식으로 말입니다. 외부 온도(T_out)만 주어진다면, 약간의 시행 착오 계산(Trial and Error)이 동반 되는 경우가 대다수지만 모든 지점의 온도를 계산해 낼 수 있습니다.


5.

단 여기에 두 가지 가정이 전제되었음을 잊어서는 안됩니다. 첫 번째는 온도 분포에 규칙성이 존재한다는 가정입니다. 온도 분포가 랜덤하다면 함수 혹은 점화식으로 표현할 수 없을 것입니다. 두 번째는 자연이 국소적(Locality)이라는 가정입니다. 국소적이라는 말은 한 지점은 매우 가까운 바로 옆 주변과 영향을 서로 주고 받는다는 가정입니다. 국소적이지 않다면 먼 지점과도 영향을 서로 주고 받을 수도 있다는 뜻이고 T(m,n)이 멀리 있는 것(가령, T(m+10,n-7))과도 얽히고 섥혀 대부분 풀 수 없게 됩니다. 국소성은 너무 당연한 가정으로 들리시겠지만 충격적이게도 실제 우리가 사는 이 우주는 국소적이지 않습니다. 그러나 일단 이 문제를 푸는 데는 아무런 지장이 없으므로 가정을 받아들이고 넘어가겠습니다.


6.

두 가지 가정 외에도 처음 문제를 시작할 때의 공간과 시간을 이산화했다는 대전제를 잊어서는 안됩니다. 자연은 연속적입니다. 이산화했기 점화식으로 나타낼 수 있었고 주어진 시스템 밖 주변 값들(경계값)로부터 온도를 구해낼 수 있었습니다. 그렇다면 이산화하지 않으면 점화식은 어떻게 표현될까요? 짐작하셨겠지만 미분방정식으로 표현됩니다. 점화식의 연속 버전이 미분방정식이라는 뜻입니다. 이산화를 매우 잘게 하다 못해 ‘무한히’ 촘촘히 하면 점화식은 미분방정식이 됩니다.  공간에 대한 온도 변화를 구하고자 한다면 경계값이, 시간에 대한 온도 변화를 구하고자 한다면 초기값이 필요합니다. 물론 공간과 시간에 대한 온도 변화를 동시에 나타내고 싶다면 둘 다 필요합니다. 점화식을 귀납적으로, 순차적으로 풀기 위해서는 a(0)가 필요한 것과 마찬가지 입니다. 점화식이나 미분방정식이나 특정 물리량의 한 지점과 주변 지점 사이의 관계를 나타낸다는 점에서 동일합니다. 다만 미분방정식은 한 지점과 주변 지점 사이의 거리가 무한소라는 것만 다릅니다. 점화식을 풀면 우리는 이산화 된 시간과 공간에서의 온도 값을 구할 수 있지만 미분방정식을 풀면 우리는 온도를 나타내는 시간과 공간에 관한 연속적인 함수를 얻게 됩니다.


7.

자연계가 미분방정식으로 표현되는 것은 필연입니다. 미분방정식이 위대해서 우리의 자연을 표현해주는 것이 아니라 만약 어떤 시스템이 연속적이고 규칙적이며 국소적이면, 이 시스템내의 한 물리량의 시간과 공간에 대한 변화는 미분방정식으로 “표현되어 질 수 밖에” 없다는 이야기입니다. 물론 규칙적이며 국소적이지만 불연속적인 시스템에서는 점화식으로 표현되겠지요. 만약, 점화식이 전에 값 혹은 옆에 값뿐만 아니라 전전값이나 혹은 옆옆값까지 필요하다면 연속 시스템에서는 2차 미분방정식으로 표현 됩니다. 시간에 대한 변화(dt)나 공간에 대한 1차원 변화(dx)를 표현하고자 하면 각각은 상미분 방정식이 되고 시간과 공간에 대한 변화를 동시에(dx,dy,dz,dt) 혹은 2차원 이상(dx,dz)으로 표현하고자 하면 편미분 방정식이 됩니다. 선형 미분방정식이냐 비선형 미분방정식이냐는 시스템 특성에 따라 갈립니다. 비선형성이 심할수록 점화식과 미분방정식의 차이가 커집니다.


8.

미분방정식은 세우고 푸는 것은 수학의 몫이고 점화식으로 표현하고 푸는 것은 공학의 몫입니다. 유체의 흐름을 기술한 나비에-스톡스 방정식(2차편미분방정식 : 이제 여러분은 이런 용어에 전혀 겁먹을 필요가 없습니다. 특정 지점에서의 유속의 시간과 공간에 따른 변화(방향과 크기 정보이므로 벡터형태이겠지요)를 구하기 위해 세워진 점화식에 불과하니까요(동서남북 뿐만아니라 동동서서남남북북(2차)과 같은 곳에서의 정보와도 관계를 나타내었고, 물론 주위와의 거리는 무한소입니다))처럼 보통은 수학이 먼저 자연을 기술하는 수식을 찾아냅니다(무려 1800년대에 세워진 식입니다). 하지만 안타깝게도 수학이 풀어 내기에 나비에-스톡스 방정식은 너무 어렵습니다. 게시판에 가끔 올라오곤 했던 푸엥카르의 추측이나 P versus NP Problem처럼 나비에-스톡스 방정식도 100만불의 상금이 걸려있는 밀레니엄의 7가지 문제들 중 한가지입니다. 공학자들은 근사적으로 방정식을 풀기 위해 수치해석(Numerical Analysis)이라는 분야를 만들어냅니다. 거칠게 말하면, 점화식으로 바꿔 푼다고 생각하시면 됩니다.

(하지만 실은 제가 작년에 나비에-스톡스 방정식을 체론(Field Theory)을 이용하여 수학적으로 풀어 내었습니다.
그러나 평범하게 살고 싶어서 풀이를 발표하진 않겠습니다. ) --> 마지막 두줄은 페르마 흉내낸 위트-_-였는데 심각하게 받아들이시는 분이 많아 빼겠습니다. 사과드립니다^^; 풀이 발표 포함을 보고 다시 클릭하신분들께 특히 사과드리며 물의를 일으켜 죄송합니다^^;;