눈송이의 작은 결정체는 구름속의 수증기가 곧바로 얼음으로 응축되면서 생성됩니다.
그리고 결정체가 자라면서 섬세하고 아름다운 형태가 나타납니다.






눈송이 하나의 형태를 더 자세히 살펴보면 결정체는 가지에서 더 작은 가지가 나오고 다시 거기서 더 작은 가지가 나오는 식으로 뻗어 있습니다.







자기 유사성이라는 이러한 개념을 연구하는 수학자들은 어떤 문양이나 무늬가 점차적으로 더 작은 크기로 일정하게 반복되는 형태를 묘사할 때 ‘프랙털’이라는 용어를 사용합니다.







자연계에서 프랙털 형태를 볼 수 있는 또다른 것은 나무입니다.
원줄기는 큰 가지들로 큰 가지는 작은 가지들로 작은 가지들은 다시 더 작은 가지들로 갈라집니다.
이와 비슷한 프랙털 형태를 양치류 식물의 잎에서도 볼 수 있습니다.







다른 종류의 형태이기는 하지만 앵무조개의 껍데기에서 볼수 있는 무늬 역시 프랙털에 속합니다.



앵무조개는 성장하면서 더 큰 방들을 새로 만들고 더는 필요 없는 이전의 작은 방들은 막아버립니다.
그러면 결국 껍데기는 나선형이 되는데 크기가 커지면서도 비슷한 모양을 유지하고 있기 때문에 본질적으로 프랙털입니다.







우리는 이 자연적인 나선형 무늬를 여러곳에서 관찰할 수 있습니다.
허리케인의 구름, 해변의 작은 조가비, 은하의 별들, 해바라기의 씨들에서도 생깁니다.




이런 나선형 무늬가 생기는 이유는 무엇입니까?
해바라기의 경우에는새로 자라 나오는 부분들이 특정한 각도를 이루며 자라기 때문입니다.






대략 137.5도 가량 되는 이 각도를 ‘황금각’이라고도 부릅니다.


이 각도로 자라면 남는 공간 없이 씨들이 더없이 촘촘하게 들어차면서 독특한 나선형 무늬가 만들어집니다.








해바라기가 황금각으로 자라지 않고 가령 140도로 자란다면 해바라기씨는 방사형으로 뻗어 나가게 될 것이며 황금각으로 자랄 때만큼 효율적으로 씨가 채워질 수 없을 것입니다.






좀 더 살펴보면 이 황금각과 피보나치 수열이라고 하는 일련의 숫자들 사이에서 매우 경이로운 수학적 관계를 발견할 수 있습니다.


피보나치 수열에서 각 숫자는 바로 앞에 나온 두 숫자의 합과 같습니다.
1+1=2
  1+2=3
    2+3=5
      3+5=8  
        5+8=13
          8+13=21
            13+21=34
               21+34=55
흥미로운 점은 피보나치 수열에 나오는 숫자들을 식물에서 흔히 관찰할 수 있다는 것입니다.
이 해바라기는 한쪽 방향으로는 34개의 나선이 있고 다른쪽 방향으로는 55개의 나선이 있습니다.







이 숫자들은 모두 피보나치 수열의 숫자입니다. 파인애플은 흔히 8개나 13개의 나선이 있습니다.






나선형으로 성장하는 꽃들은 흔히 꽃잎의 수가 피보나치 수열의 숫자와 일치합니다.  








피보나치 수열이 계속 되면 연속되는 숫자들 간의 비율이 점점 더 황금각을 정의하는 정확한 비율에 가까워지기 때문입니다.







식물이 성장하면서 이루는 황금각과 그로인해 생기는 나선의 개수 사이에 존재하는 이 흥미진진한 수학적 관계를 보면 우리가 자연계에서 보는 무늬나 형태들에는 매우 놀라운 질서가 있다는 사실에 감탄하게 됩니다.....^^